如图1,锐角△ABC中,AB＝AC,CD//AB,P为边BC上一点,Q为直线CD上一点,连接AP、PQ,使得∠APQ＝∠

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 19:28:47

如图1,锐角△ABC中,AB＝AC,CD//AB,P为边BC上一点,Q为直线CD上一点,连接AP、PQ,使得∠APQ＝∠BAC.
（1）猜想线段AP与PQ的数量关系并证明；
（2）如图2,若将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC”,其他条件不变,（1）中的结论是否正确?若正确,请你给出证明；若不正确,请你说明理由.
备注：请帮助回答的大大在此范围里答题.

（1）连接AQ
因CD//AB,则∠BAC=∠ACQ,又因∠APQ＝∠BAC,则∠ACQ=∠APQ
所以A、P、C、Q四点共圆
∠PAC=∠PQC,∠QAC=∠QPC
∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-BCQ
由CD//AB,得∠B=180°-BCQ,
所以∠PAQ=∠B,又因∠APQ＝∠BAC,所以∠ACB=∠AQP
由AB＝AC,得∠B=∠ACB,所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ
（2）连接AQ
由CD//AB,∠APQ=∠BAC,得∠ACD=∠BAC=∠APQ,则A、P、C、Q四点共圆
∠PAQ=∠PCQ,∠AQP=∠ACB
由CD//AB、AB＝AC,得∠PCQ=∠B=∠ACB
所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ
再问：这是就读八年级的学生问我的问题，八年级还没有涉及到圆的相关知识，他说是在全等三角形的范围内的。共圆的证明方法他根本没有接触过。。第1问我能用全等三角形的方法证明给他看，但第2问还没有头绪.
再答：（2）过点P分别做AC、CQ的垂线，垂足分别为M、N 则可证△PMC≌△PNC，PM=PN，∠MPN+∠MCN=180° 由CD//AB，得∠B=∠BCN 所以∠MPN=∠BAC=∠APQ 所以∠MPA=∠NPQ 所以△MPA≌△NPQ 所以PA=PQ
再答：过点P分别做AC、CQ的垂线，垂足分别为M、N 则可证△MPC≌△NPC PM=PN，∠MPN+∠MCN=180° 则有∠MPN=∠BAC=∠APQ ∠MPA=∠NPQ △MPA≌△NPQ 所以AP=PQ

1.已知：如图梯形ABCD中：AD‖BC,AB=CD,P为BC上一点,∠APQ=∠B,PQ交CD于Q 求证：△ABP∽△ 如图4,等边三角形ABC中,P,Q各为AB,AC的中点,D为PQ上一点,直线CD交AB于F,直线BD交AC于E.求证：1 已知平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上的一点,作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B= 如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PQ=CQ时,连接PQ交AC 如图，在等边△ABC中，E在BC的延长线上，CF平分∠ACE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ．若AP 如图,在三角形abc中,d为ab上一点,ad＝ac.连接Dc.求证BC－CD＜AB－AC 如图,已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD=AC,P是CD上任意一点,PQ⊥AB于Q,PR垂直AC于R 如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA＝CQ时,连PQ交AC边于如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,PE⊥AC于E,Q为 BC延长线上一点,当PA＝CQ时,连PQ交AC边于在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥BC于E,Q为AC延长线上的一点,当PB=CQ时,连接PQ交BC于D,则D 如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD