如何证明 Var [X + Y ] = Var [X] + 2Cov (X,Y ) + Var [Y] 关于协方差的问题

如何证明 Var [X + Y ] = Var [X] + 2Cov (X,Y ) + Var [Y] 关于协方差的问题
如何证明 
 Var [X + Y ] = Var [X] + 2Cov (X,Y ) + Var [Y]
 如果 X跟Y 是 独立的随机变量 求证 Var [X + Y ] = Var [X - Y ]
X 有离散均匀分布 范围是 Rx= {-2,-1,12} 让Y=X^2 所以Y 的距离（range) 为 Ry= {1,4} 
(a) 找出联合分布 （joint distribution） of X 跟 Y
       (b)  证明 X,and Y 是无关联的,但是是 独立的. 

1
Var [X + Y ] = Var [X] + 2Cov (X,Y ) + Var [Y]
就用定义证明就行,
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
Var(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
所以
Var [X + Y ]=E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2=E(X^2+2XY+Y^2)-[E(X)+E(Y)}^2
={E(X^2)-[E(X)]^2}+{E(Y^2)-[E(Y)]^2}+ 2[E(XY)-E(X)E(Y)]
=Var(X)+2Cov (X,Y ) + Var (Y)
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X,Y相互独立,那么E(XY)=E(X)E(Y)
所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0
Var [X -Y]=Var(X)+2Cov (X,-Y) + Var (-Y)=Var(X)-2Cov (X,Y) + Var (Y)=Var(X)+ Var (Y)
Var [X + Y ] = Var [X] + 2Cov (X,Y ) + Var [Y]=Var(X)+ Var (Y)
所以Var [X + Y ] = Var [X - Y ]
下面那个没看懂啥意思,可否写的明确些.
再问： 原题是英文的
再答： a 分布律是这样的， p{x=m,y=n}=p{y=n|x=m}*p{x=m} 其中m=1,-1,2,-2,n=1,4 所以联合分布律如下： p{x=1,y=1}=p{y=1|x=1}*p{x=1}=1*(1/4)=1/4 p{x=-1,y=1}=p{y=1|x=-1}*p{x=-1}=1*(1/4)=1/4 p{x=2,y=1}=p{y=1|x=2}*p{x=2}=0*(1/4)=0 p{x=-2,y=1}=p{y=1|x=-2}*p{x=-2}=0*(1/4)=0 p{x=1,y=4}=p{y=4|x=1}*p{x=1}=0*(1/4)=0 p{x=-1,y=4}=p{y=4|x=-1}*p{x=-1}=0*(1/4)=0 p{x=2,y=4}=p{y=4|x=2}*p{x=2}=1*(1/4)=1/4 p{x=-2,y=4}=p{y=4|x=-2}*p{x=-2}=1*(1/4)=1/4 b （1） x和y是不相关的，证明如下 很容易看到，xy也是一个离散均匀分布， xy={-1,1,-2,2,-4,4,-8,8} 所以E(XY)=0 且E(X)=0 所以cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以X，Y的相关系数ρxy=cov(X,Y)/[√Var(X)*√Var(Y)]=0 所以X,Y是不相关的。 （2） 下面证明不独立 因为p{x=1}=1/4 p{y=1}=1/2 而p{x=1,y=1}=1/4 所以p{x=1,y=1}≠p{x=1}*p{y=1} 所以x和y不是相互独立的。。。