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设n阶矩阵A满足A^2-7A-6E=0(A^2为A*A,E为单位矩阵)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 16:52:07
设n阶矩阵A满足A^2-7A-6E=0(A^2为A*A,E为单位矩阵)
证明A和A+2E都可逆,求A^-1,(A-2E)^-1(求A的逆矩阵和A-2E的逆矩阵
因为A²-7A-6E=0
所以A(A-7E)=6E
即A[(A-7E)/6]=E
所以A可逆,A^-1=(A-7E)/6
A²-7A-6E=0
A²-7(A+2E)+8E=0
A²-4E-7(A+2E)+12E=0
(A-2E)(A+2E)-7(A+2E)=-12E
(A-9E)(A+2E)=-12E
即[(A-9E)/(-12)](A+2E)=E
所以A+2E可逆,(A+2E)^-1=-(A-9E)/12
A²-7A-6E=0
A²-7(A-2E)-20E=0
A²-4E-7(A-2E)=16E
(A+2E)(A-2E)-7(A-2E)=16E
(A-5E)(A-2E)=16E
即[(A-5E)/16](A-2E)=E
所以(A-2E)^-1=(A-5E)/16