作业帮导数函数
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 00:57:08
解题思路： 利用导数解决单调性问题 。
解题过程：
(1) g`(x)=-(x^2+x-a)/(x+1), 令x^2+x-a=0,因为△=1+4a>0,g`(x)=0的两根为x1，x2，且x1<x2 a≥0时，x1≤-1，x2≥0 所以，当a≥0时g（x）在（-1，x2）上递增，在（x2，+∞）递减 (2)原式变形为：ln(1+x)-x≤0 设f(x)=ln(1+x)-x，x>-1 f`(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x) 令f`(x)>0，得-1<x<0 ∴f`(x)在(-1,0)大于0，在[0,+∞)小于0 ∴f(x)在(-1,0)单调增，[0,+∞)单调减 ∴当x=0时，f(x)max=ln1-0=0 显然，f(x)≤0对于一切x>0恒成立 ∴ln(1+x)-x≤0 即ln(1+x)≤x，得证 （3）对于上式两边取以e为底的指数， 则得到结论 e^x ≥ x + 1 所以原式化为n(n+1)/(e^n-1)≤n(n+1)/n=n+1≤e^n 到这里就没有思路了，考虑可能题目有误。
最终答案：
解题过程：
(1) g`(x)=-(x^2+x-a)/(x+1), 令x^2+x-a=0,因为△=1+4a>0,g`(x)=0的两根为x1，x2，且x1<x2 a≥0时，x1≤-1，x2≥0 所以，当a≥0时g（x）在（-1，x2）上递增，在（x2，+∞）递减 (2)原式变形为：ln(1+x)-x≤0 设f(x)=ln(1+x)-x，x>-1 f`(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x) 令f`(x)>0，得-1<x<0 ∴f`(x)在(-1,0)大于0，在[0,+∞)小于0 ∴f(x)在(-1,0)单调增，[0,+∞)单调减 ∴当x=0时，f(x)max=ln1-0=0 显然，f(x)≤0对于一切x>0恒成立 ∴ln(1+x)-x≤0 即ln(1+x)≤x，得证 （3）对于上式两边取以e为底的指数， 则得到结论 e^x ≥ x + 1 所以原式化为n(n+1)/(e^n-1)≤n(n+1)/n=n+1≤e^n 到这里就没有思路了，考虑可能题目有误。
最终答案：