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如图所示,平行四边形ABCD中,以BC,CD为边分别向外作两个正三角形BCE和CDF,求证三角形AEF是等边三角形

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 16:10:30
如图所示,平行四边形ABCD中,以BC,CD为边分别向外作两个正三角形BCE和CDF,求证三角形AEF是等边三角形
∵ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC、AB=DC、BC=DA.
∵△BCE、△CDF都是正三角形,∴∠CBE=∠CDF=60°、BE=BC、DC=FD.
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠ADC+60°=∠ADC+∠CDF=∠FDA.
由AB=DC、DC=FD,得:AB=FD.
由BE=BC、BC=DA,得:BE=DA.
由AB=FD、BE=DA、∠ABE=∠FDA,得:△ABE≌△FDA,∴AE=FA、∠AEB=∠FAD.
∵ABCD是平行四边形,∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴(∠FAD+∠EAF+∠BAE)+∠ABC=180°,
∴(∠AEB+∠BAE+∠ABC+∠CBE)+∠EAF=180°+∠CBE,
∴180°+∠EAF=180°+∠CBE,∴∠EAF=∠CBE=60°,而AE=AF,∴△AEF是正三角形.