求向量绕轴旋转所得的向量

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/19 07:22:16

求向量绕轴旋转所得的向量
标志向量 t=(0,sin27,cos27-1),转轴prec在面xoy内,且与y轴夹角为sita1,求标志向量t绕转轴prec旋转sita2顺时针）后得到的向量,相对xyz坐标系.

你给出的附图和题目的文字叙述差别很大.（sin 27≈0.956,cos 27 -1明显为负,这里没有角度符号°,理所当然认为是弧度）
有两种方法：
如果你是大学生：
根据运动的相对性,向量t绕某个轴旋转一个角度后的位置,与向量不动而把坐标轴反向旋转相同的角度后相对于新坐标系的位置,两者相同.所以,只需要用坐标变换公式,算出坐标轴反向旋转后向量t的新坐标即可.而任何一本空间解析几何的书上都有这个公式（比较复杂,我也记不住）.只是需要根据已知条件计算一下,坐标系旋转后,新旧坐标轴之间的对应的夹角.这都不难.
如果你是高中生：
设向量t的终点为A(0,sin27,cos27-1),旋转后的终点为B(x0,y0,z0).转轴的方向余弦很容易求得,n=( sin θ1,cos θ1,0 ).于是可求出过点A且垂直于向量n的平面∏的方程：(X-A)·n=0（这里“·”是向量内积）,则点B也在平面∏上,所以
(B-A)·n=0.……①
设平面∏与转轴的交点为Q,转轴的方程为X=kn,k为实数,于是交点Q的坐标马上可求出,联立X=kn,(X-A)·n=0,得X·n=A·n,
即k=kn·n=A·n=sin27*cos θ1,（n·n=1）
于是Q=kn=sin27 cos θ1( sin θ1,cos θ1,0 )=( (sin27 sin 2θ1)/2,sin27 cos^2(θ1),0 ).
连接AQ、BQ,于是QA、QB的夹角为θ2,由外积定义：
QB×QA=（|QA|*|QB|*sin θ2）n=(QA^2*sin θ2)n,n是与QA、QB都垂直的单位向量,并且QB、QA、n成右手系.
(B-Q)×(A-Q)=[(Q-A)^2*sin θ2]n ……②
①、②联立解出B即可.
实际运算时都写成坐标的形式,如①写成
[(x0,y0,z0)-(0,sin27,cos27-1)]·n=0,
即(x0,y0-sin27,z0-cos27+1)·( sin θ1,cos θ1,0 )=0,
x0*sin θ1+(y0-sin27)* cos θ1=0,
②式其实包含2个独立方程,因为写出来形式很长,要输到计算机里很费时间,但都是一次方程,不难解.

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