在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC垂直底面ABCD,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 09:24:58

在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC垂直底面ABCD,
E为PC的中点。求(1)异面直线PA与DE所成角的余弦值（2）点D到面PAB的距离

(1)依题意,底面四边形ABCD边长为a,在△PDC中过P点作CD边的高,交CD于F点,
则PF=√3a/2,设AB中点G,连接FG、PG,∵平面PDC垂直底面ABCD,∴PF⊥FG,∵F、G为正方形ABCD对边中点,∴FG⊥CD,∵PF、CD为面PDC中的相交直线,∴FG⊥面PDC,∵FG∥AD∥BC,∴AD⊥面PDC,BC⊥面PDC,则△PAD和△PBC为直角△,且直角边都为a,∴PA=PB=√(1+1)a=√2a；在△PAD的P、D两点作PH∥AD和DH∥PA,则PH=AD=a,DH=PA=√2a,连接HE,∵PH⊥面PDC,∴HE=√(1+1/4)a=√7a/2,∵DH∥PA,∴直线PA与DE所成角既是DH与DE所成角,在正三角形PDC中DE=√3a/2,则cos∠HDE=(DH²+DE²-HE²)/2DE*DH=(2+3/4-7/4)/(2*√3/2*√2)=√6/6.异面直线PA与DE所成角的余弦值=√6/6.
(2)过P点作PL∥AB,且PL=AB/2=a/2,连接DL,∵PG⊥AB,∴PLAG为矩形,∵GA⊥面LAD,PL⊥面LAD,∴面PLAB⊥面LAD,同理可证,面PLDC⊥面LAD；∵LD∥PF,∴LD⊥底面ABCD⊥AD,△LAD为直角△；过D作DM⊥LA,∵面PLAB⊥面LAD,∴DM⊥面PLAB；PG=LA=√(2-1/4)a=√7a/2,DM=√3a/2*a/(√7a/2)=√21a/7,点D到面PAB的距离为√21a/7