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4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 02:13:08
4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.
（1） 若∠MAN＝45°,求证：MB＋ND＝MN .
（2） 若MB＋ND＝MN,求证：∠MAN＝45°.
1)过N做NP垂直于AM.由题意,得：三角形ANP为等腰直角三角形（∠MAN＝45°）；所以：MN^2=NP^2+PM^2;设正方形ABCD边长为1,BM=b,DN=a.MN^2=NP^2+PM^2------1；MN^2=NC^2+MC^2------2;1,2式联立：NP^2+PM^2=NC^2+MC^2；故：(AN/√2)^2+(AM-AP)^2=(1-DN)^2+(1-BM)^2;       (1+a^2)/2+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)+(1+a^2)/2=(1-a)^2+(1-b)^2;       (1+a^2)+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=(1+a^2)+(1+b^2)-2(a+b);       √2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=2(a+b);       (1+a^2)*(1+b^2)=2(a+b)^2;       1+a^2+b^2+a^2*b^2=2a^2+2b^2+4ab;        1+a^2*b^2-2ab=a^2+b^2+2ab;       (1-ab)^2=(a+b)^2;因为a<1,b<1,故ab<1;上式为:1-ab=a+b;随便带入1,2式中的一个（以2式为例）：MN^2=NC^2+MC^2=(1-a)^2+(1-b)^2                             =1-2a+a^2+1-2b+b^2                             =2-2(a+b)+a^2+b^2                                                          =2-2+2ab+a^2+b^2-------->1-ab=a+b;                             =(a+b)^2;故：MN=a+b=MB＋ND,原题得证.2）由MB＋ND＝MN,得:NC^2+MC^2=(MB＋ND)^2;         所以:(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2;                a+b=1-ab;下面用1)的证明倒推.
如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当M点运动到 已知正方形ABCD中 如图,M、N分别为BC、CD上的点,∠MAN=45°,求证 BM+DN=MN 已知点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.(1)如图1,求证:MN=DN+BM 如图,正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当m点在BC上运动时,保持AM,MN垂直 & 如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直 已知：如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF． 如图,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是边BC、CD上的两个动点,当点M在BC边上运动（不与B 、C 重合）时, 如图 正方形abcd边长为2 m n分别是bc cd的两个动点 且在运动过程中 始终保AM⊥MN 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF,AE,AF分别与对角线BD交于点M,N 如图正方形ABCD和正方形EFGC,点E、G分别在BC、CD上,M、N分别为AF、BG的中点. 已知,如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形 正方形ABCD中,M,N分别在BC,CD上,已知BM+DN=MN,求