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设正整数a,b满足b原题没有问题

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 22:21:27
设正整数a,b满足b
原题没有问题
记a,b的最大公约数为k,有 a=k*a1 (1),b=k*b1 (2) a1,b1互素
∵ ab(a-b)|(a^3+b^3+ab) --- (0)
∴ a|(a^3+b^3+ab)
∴ a|b^3 (3)
同理 b|a^3 (4)
(1)代入(3)有
a1|k^2*b1^3 (3'),又因为a1,b1互素,所以有a1|k^2 (5)
(2)代入(4),同样有 b1|k^2 (6)
根据(5)(6),a1,b1互素,有a1*b1|k^2 (7)
(1)(2)代入(0)有
k*a1*b1*(a1-b1)|k*a1^3+k*b1^3+a1*b1 (8)
∴ k|k*a1^3+k*b1^3+a1*b1
∴ k|a1*b1 (9)
根据 (7),(9)有,a1*b1 = t*k (t|k,即t是k的因子) (10)
如果t=1,则a*b=k*a1*k*b1=k^3,命题成立.
如果t不等于1,(10)代入(8),有
t*k|a1^3+b1^3+t
t|a1^3+b1^3 (11)
假设t1是t的一个素数因子,有t1|t
因为t|k,k|a1*b1,所以t1|a1*b1
又因为a1,b1互素,所以t1或者是a1的因子,或者是b1的因子.
如果t1|a1,根据(11) --> t1|a1^3+b1^3 -->t1|b1 ,这和a1,b1互素矛盾.
如果t1|b1,同理有t1|a1,矛盾.
所以t不等于1是不成立的.
证毕.
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