作业帮一道数列综合题设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 01:44:07
一道数列综合题
设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)的条件下,设Cn=(1/1+An)+(1/1-An),数列{Cn}的前n项和为Tn,求证Tn＞2n - 1/3
设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)的条件下,设Cn=(1/1+An)+(1/1-An),数列{Cn}的前n项和为Tn,求证Tn＞2n - 1/3
解 ：A1=4^(log4T)=T
因为 f(An+1)=1/f(-TAn)
所以有 f(An+1)*f(-TAn)=1
4^(An+1)*4^(-TAn)=1
即 An+1-TAn=0
A(n+1)/An=T
所以An为等比数列 An =T^n
(2)Bn+1=[2Sn+1/T^(n+1)]+1
Bn =[2Sn/T^n] +1
分别化简的T^(n+1) B(n+1)=2S(n+1) +T^(n+1)
T^nBn=2Sn +Tn
相减得 T^n[TB(n+1)-Bn]=
2[S(n+1)-Sn]+T^(n+1) -Tn
化简的 TB(n+1)-Bn=3T-1
因为 Bn为等比数列 所以
3T-1=0 即 T=1/3
（3）解 ;带入化简的
Cn =2*3^2n/[(3^2n)-1]
》2*3^2n/3^2n=2
所以 Tn>2n>2n-1/3
因为 f(An+1)=1/f(-TAn)
所以有 f(An+1)*f(-TAn)=1
4^(An+1)*4^(-TAn)=1
即 An+1-TAn=0
A(n+1)/An=T
所以An为等比数列 An =T^n
(2)Bn+1=[2Sn+1/T^(n+1)]+1
Bn =[2Sn/T^n] +1
分别化简的T^(n+1) B(n+1)=2S(n+1) +T^(n+1)
T^nBn=2Sn +Tn
相减得 T^n[TB(n+1)-Bn]=
2[S(n+1)-Sn]+T^(n+1) -Tn
化简的 TB(n+1)-Bn=3T-1
因为 Bn为等比数列 所以
3T-1=0 即 T=1/3
（3）解 ;带入化简的
Cn =2*3^2n/[(3^2n)-1]
》2*3^2n/3^2n=2
所以 Tn>2n>2n-1/3
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