作业帮请线性代数，英语都比较厉害的兄弟看下、、、,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 05:07:44
请线性代数，英语都比较厉害的兄弟看下、、、,
An（n*n）symmetric matrix A is called positive definite if x^TAx>0 for all x in R^n,x<>0.Let A be a (2*2)symmetric matrix.prove the following:
a.If A is positive definite, then a11>0 and det(A)>0.
b.If a11>0 and det(A)>0, then A is positive definite.【Hint : For part a,consider x =e1.Then consider x=[u,v]^T and use the fact that A is symmetric】
An（n*n）symmetric matrix A is called positive definite if x^TAx>0 for all x in R^n,x<>0.Let A be a (2*2)symmetric matrix.prove the following:
a.If A is positive definite, then a11>0 and det(A)>0.
b.If a11>0 and det(A)>0, then A is positive definite.【Hint : For part a,consider x =e1.Then consider x=[u,v]^T and use the fact that A is symmetric】
这个是正定阵的基本结论，对于一般的n也对，可以叙述成实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式大于0。
A正定 => a11>0这步很容易，取x=e1即可。
在a11>0的条件下，A=PDP^T，其中
P=
1 0
a12/a11 1
D=
a11 0
0 a22-a12^2/a11
那么det(A)>0 a22-a12^2/a11>0 A正定。
n>2的时候也可以用同样的证法，只不过需要归纳一下。
A正定 => a11>0这步很容易，取x=e1即可。
在a11>0的条件下，A=PDP^T，其中
P=
1 0
a12/a11 1
D=
a11 0
0 a22-a12^2/a11
那么det(A)>0 a22-a12^2/a11>0 A正定。
n>2的时候也可以用同样的证法，只不过需要归纳一下。