如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 19:24:35

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b=0
b=3
解得：

k=-1
b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，
解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF
即S=
1
2PF•BM+
1
2PF•OM=
1
2PF•（BM+OM）=
1
2PF•OB．
∴S=
1
2×3（-m²+3m）=-
3
2m²+
9
2m（0≤m≤3）．