证明经过定点（x,y）的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 02:22:03

证明经过定点（x,y）的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)
已知A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标为（x，y）。证明经过定点（x，y）的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)

证明：当A1x+B1y+C1=0且A2x+B2y+C2=0时,直线系方程成立.则它过两直线的交点.
(1)当斜率存在时：
将A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0化成斜截式得到斜率k=-(A1+λA2)/(B1+λB2)=-(A2(B1+λB2)/B2+A1-A2B1/B2)/(B1+λB2)=-(A2/B2+(A1-A2B1/B2)/B1+λB2)=k1+k2/x *
此时λ≠-B1/B2
由于两直线有交点,不平行,则A1/B1≠A2/B2,则k2≠0,y=k2/x取遍除0以外所有的实数,则(*)式满足k≠-A2/B2,又A2x+B2y+C2=0的斜率为-A2/B2.
所以直线系方程涵盖了所有斜率.
(2)斜率不存在.则λ=-B1/B2,此时必定A1+λA2≠0,平行于y轴的直线存在.
综上所述,直线系方程涵盖了所有情况.满足要求.
证毕.
注：其实直线系方程的写法有很多种,只要满足所有可能情况就行.比如设那两条直线的交点为(x0,y0),过这一点的直线系方程为y-y0=k(x-x0)和x=x0,其中k为参数.它们的意义是相同的.

经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0.l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x 在使用直线系方程时,要注意A1X+B1Y+C1=Λ(A2X+B2Y+C2)=0不包括A2X+B2Y+C2=0应该单独验证过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程l:A1X+B1Y+C1+λ(A2 若方程组a1x+b1y=C1,a2x+b2y=c2的解为x=-14,y=15, 若直线L1,L2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,其中a1,b1不全为0,a2,b2也不全已知两条直线：l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,证明方程A1x+B1y+C1+入（A2 已知直线l1,l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0,)l2:A2x+B2y+C2=0( 已知直线l1·l2的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,若A1A2B1B2C1C2 已知两直线a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+c2=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a1 x直线L1和L2的方程是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.其中A1,B1不全为0,A2,B2也不全为0 两平行线间的距离问题若两平行直线方程L1 A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 (C1≠C2) 则L 设直线L1:A1X+B1Y+C1=0关于直线L2:A2X+B2Y+C2=0对称的直线为L3:A3X+B3Y+C3=0已知