作业帮柯西不等式的证明方法?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 15:20:59
柯西不等式的证明方法?
柯西不等式：ai,bi∈R,求证:(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.
我觉得比较简单的方法就是构造法,构造n维向量：α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn).
则 √(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|α|*|β|≥|α|*|β|*cos=α*β=a1*b1+a2*b2+...+an*bn.
两边同时平方得：(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.
还有很多其他方法：数形结合法：
柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
除此还有作差法...等等
我觉得比较简单的方法就是构造法,构造n维向量：α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn).
则 √(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|α|*|β|≥|α|*|β|*cos=α*β=a1*b1+a2*b2+...+an*bn.
两边同时平方得：(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.
还有很多其他方法：数形结合法：
柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
除此还有作差法...等等