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等轴双曲线x^2-y^2=a^2(a>0)的右焦点F,右顶点A,过F的直线交双曲线右支于MN...

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 19:37:52
等轴双曲线x^2-y^2=a^2(a>0)的右焦点F,右顶点A,过F的直线交双曲线右支于MN...
等轴双曲线x^2-y^2=a^2(a>0)的右焦点F,右顶点A,过F的直线交双曲线右支于MN两点,求COS角MAN的取值范围.
F(a√2,0),A(a,0),
MN⊥x轴时∠MAN最大,当MN无限趋向于平行渐近线时∠MAN取下确界.
MN⊥x轴时,MN:x=√2a,代入x^2-y^2=a^2,①得
y^2=a^2,y=土a,
tanXAM=FM/AF=a/[(√2-1)a]=√2+1,
由万能公式,cosMAN=[1-(√2+1)^2]/[1+(√2+1)^2]=-√2/2.
当MN无限趋向于平行渐近线时:MN→y=x-a√2,②
代入①,2ax√2=3a^2,x=3a√2/4,
代入②,y=-√2a/4,
记N(x,y),则tanXAN=-y/(x-a)=√2/(3√2-4)=3+2√2,
cosXAN=1/√[1+(3+2√2)^2]=1/√(18+12√2),
sinXAN=(3+2√2)/√(18+12√2),
∠MAN→∠XAN+45°,
cosMAN→(cosXAN-sinXAN)/√2=-(√2+2)/√(18+12√2),
∴cosMAN的取值范围是[-√2/2,-(√2+2)/√(18+12√2)).
再问: ��ô��ô֤���ڴ�ֱʱ���������ƽ�н�����ʱ��С��
再答: ֱ���жϣ�������