正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两相互垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 01:09:29

正三棱锥P-ABC,棱长a
设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等,BF、CD、AE交于O,且PO⊥平面ABC
任选PO上一点O',易证明O'到PD、PE、PF的距离相等
当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时,恰好就是正三棱锥的内切球半径r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6
PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2
PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
O到三个侧面的距离=1/3
设OO'=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=OO'=(3-√3)a/6
验证：O'到PF的距离O'H=OO'
设OG⊥PF,O'H//OG
sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3
(PO-r)/PO=O'H/OG
O'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以,正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6
PO=√3/3

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（　　）已知正三棱锥的底面边长为根号三,侧棱长为2,求该正三棱锥外接球的表面积已知三棱锥P-ABC的侧面两两垂直,且侧棱长均为1,则该三棱锥的外接球的表面积是 ______.谢已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，侧面积为2，则该三棱锥外接球的表面积的最小值为______．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且长度分别为abc,是求该三棱锥外接球的表面积. 已知正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．若正三棱锥的高为1，则球的半径为正三棱锥P-ABC中,若侧棱和底面边长都为a该正三棱锥的高为多少已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,球该三棱锥外接球的表面积已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为√3,E,F分别是SC,BC的中点,且EF⊥AE,则该正三棱锥外接球的表面积为