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设各项均为正数的无穷数列an bn满足,对任意的n∈N+都有2 bn=an+a(n+1) 且(a (n+1))^2=bn

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 07:45:25
设各项均为正数的无穷数列an bn满足,对任意的n∈N+都有2 bn=an+a(n+1) 且(a (n+1))^2=bn*(b( n+1 )) 求证 根号下bn是等差数列
[a(n+1)]²=b(n)·b(n+1),于是[a(n)]²=b(n-1)·b(n)
由于a(n)>0,所以
a(n+1) = √b(n)·√b(n+1),
a(n) = √b(n-1)·√b(n),
代入2b(n) = a(n) + a(n+1)
2√b(n)·√b(n) = √b(n-1)·√b(n) + √b(n)·√b(n+1)
两边约去√b(n),有
2√b(n) = √b(n-1) + √b(n+1)
也就是
√b(n+1) - √b(n) = √b(n) - √b(n-1)
这就证明了 √b(n)是等差数列.