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来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 03:03:40
油管铺设
某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6万元／km,在河边铺设管道的费用为4万元／km,试在河边找一点p,使管道铺设费最低.
某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6万元／km,在河边铺设管道的费用为4万元／km,试在河边找一点p,使管道铺设费最低.
如上图铺设管道.
设：P点位于炼油厂下游x（km）处,0≤x≤10.铺设的总费用是y万元.
依题意和已知,有：
y=4x+6√[2.5²+(10-x)²]
y=4x+6√(x²-20x+106.25)
y'=4+3(2x-20)/√(x²-20x+106.25)
y'=[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)
1、令：y'＞0,即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＞0
有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＞0
30-3x＜2√(x²-20x+106.25)
9x²-180x+900＜4(x²-20x+106.25)
x²-20x+95＜0
(x-10)²＜5
10-√5＜x＜10+√5
因为：0≤x≤10,
所以：当10-√5＜x≤10时,y是单调增函数；
2、令：y'＜0,即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＜0
有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＜0
30-3x＞2√(x²-20x+106.25)
9x²-180x+900＞4(x²-20x+106.25)
x²-20x+95＞0
(x-10)²＞5
x＞10+√5,或：x＜10-√5
因为：0≤x≤10,
所以：当0≤x＜10-√5时,y是单调减函数；
综上所述,有：
当x=10-√5（km）≈7.7639km时,y有极小值.
y极小=4(10-√5)+6√[(10-√5)²-20×(10-√5)+106.25]
=40-4√5+6√11.25
≈51.1803(万元)
答：当p点位于下游约7.7639km处时,所需费用最低.费用约是51.1803万元.