(2005年江西第22题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 12:38:05

(2005年江西第22题
设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

由已知可设P的坐标分别为（t,t-2）,过P点的抛物线的切线的斜率为k,
则切线方程为 y=k(x-t)+t-2,则联立直线和抛物线方程,得
x^2-kx+kt-t+2=(x-k/2)^2-(k^2-4kt+4t-8)/4=0
因为相切,所以△=k^2-4kt+4t-8=0
解得 t=2(t±√(t^2-t+2))
所以交点横坐标为 x=k/2=t±√(t^2-t+2)
所以两个切点分别为（t+√(t^2-t+2),2t^2-t+2+2t√(t^2-t+2)）,(t-√(t^2-t+2),2t^2-t+2-2t√(t^2-t+2))
设△APB的重心G坐标为（x,y）,则
x=[t + t+√(t^2-t+2)) + t-√(t^2-t+2)]/3=t
y=[t-2 + 2t^2-t+2+2t√(t^2-t+2) + 2t^2-t+2+2t√(t^2-t+2) ]/3=(4t^2-t+2)/3
消去t,得 y=(4x^2-t+2)/3
注：已知三角形三点坐标为（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）,其重心坐标为（（ x1+x2+x3）/3,(y1+y2+y3)/3）.方法是这样的.仅供参考.

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