（2012•密云县一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 06:55:56

（2012•密云县一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
（1）求a的值及对称轴方程；
（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连接PA．设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．

（1）∵抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），
∴a=-1．
∴对称轴方程为x＝−
b
2a＝2，

（2）∵点A为（-1，0），点B为（2，9），
∴直线AB的解析式为y=3x+3．
依题意知点P的坐标为（2，m）．
∴点D的坐标为（
m
3−1，m）．
∴S=
1
2PD•|m|=
1
2（2-
m
3+1）•|m|=（
3
2-
m
6）•|m|
故S与m的函数关系式为S＝

−
1
6m2+
3
2m(0＜m＜9)

1
6m2−
3
2m(m＜0).，

（3）如图：作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，
连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．
则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0）；
最短距离为2
13．