已知变量x,y,z满足不等式组\left\{ \begin{array}{l}{x+2y-1≥0} \\ {2x+y-2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/24 21:14:49

已知变量x,y,z满足不等式组\left\{ \begin{array}{l}{x+2y-1≥0} \\ {2x+y-2≤0} \\ {x-y+2≥0},则z={8}^{x}+{2}^{y}的最小值

设a = log_2(6),则2^a = 6.
8^x+2^y = 2^(3x)+2^a·2^(y-a)
= 2^(3x)+6·2^(y-a)
= 2^(3x)+2^(y-a)+2^(y-a)+2^(y-a)+2^(y-a)+2^(y-a)+2^(y-a)
≥ 7·(2^(3x)·2^(y-a)·2^(y-a)·...·2^(y-a))^(1/7)
= 7·2^((3x+6y-6a)/7)
= 7·2^((3(x+2y-1)+3-6a)/7)
≥ 7·2^((3-6a)/7) (x+2y-1 ≥ 0)
= 7·(2^(1-2a))^(3/7)
= 7/18^(3/7).
当3x = y-a,x+2y-1 = 0时等号成立.
解得x = (1-2a)/7,y = (3+a)/7.
此时,可验证2x+y-2 = -3(3+a)/7 ≤ 0,x-y+2 = 3(4-a)/7 ≥ 0.
即x = (1-2a)/7,y = (3+a)/7满足不等式组.
于是z = 8^x+2^y的最小值就是7/18^(3/7).
再问：原题答案是1，说是x取-1，y取1，用到基本不等式，但我感觉不对，所以才请教.
再答：答案是不对的, 我大概能想象答案是怎么做的. 8^x+2^y = 2^(3x)+2^y ≥ 2·√(2^(3x)·2^y) = 2^((3x+y+2)/2). 然后用线性规划求3x+y+2的最小值. 可得3x+y+2 ≥ 0, 等号在x = -1, y = 1时取得. 代回得2^((3x+y+2)/2) ≥ 1. 但是这只能证明8^x+2^y ≥ 1, 而等号不能成立. 因为x = -1, y = 1时均值不等式的等号不成立 (8^(-1) ≠ 2^1). 所以上述过程得到的不是最小值, 也不说明最小值在x = -1, y = 1时取得. 我的方法专门凑出系数6来使用均值不等式, 就是为了使得两处等号能同时成立. 你可以验证这一点.

已知变量x y 满足约束条件x-y+1≥0 x-2≤0 y+2≥0,则目标函数z=x+y的最大值. 已知变量x,y满足约束条件 y≤2 x+y≥1 x-y≤1 则z=3x+y的最大值是设变量x,y满足约束条件 {x-y≥0,x+y≤1,x+2y≥0},则函数Z=2x+y 的最大值? 已知实数x,y满足不等式组Y≤X,X+Y≤2,Y≥0,那么目标函数Z=+3Y的最大值是? 设变量x y满足约束条件x-y≥-1 x+y≥1 2x-y≤1 z=(x-2y)/(x+y)的最大值数学不等式：变量x,y满足约束条件「x-y≥0,x+y≤0,x+2y≥1」,求z=5x+y的最大值已知变量xy满足约束条件x-y≥1 x+y≥1 2x-y≤4 则z=y/x的最大值为已知实数满足不等式组 x-2y+4≥0 x+y-2≥0 x≤2 则z=2x-y 的最小值为已知实数xy满足不等式组x≥0,y≤x,x+y-4≤0,则z=2x-y的最大值为设变量x,y满足不等式|x|+|y|≤1,画出不等式表示的区域,并求其面积,若z=x+2y,则求已知变量x,y满足不等式组【（x大于等于y）,(x+y小于等于4),.(y大于等于m)】z=x+2y的最大值比最小值大9 已知变量x,y满足约束条件x+2y-3=0,y-1