有限域上的极小多项式,次数怎么求

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 14:00:14

有限域上的极小多项式,次数怎么求
比如在有限域Fq上,q=素数p的m次方,问这个域上的极小多项式次数是多少
PS：上述域是这样生成的,先取域Fp,然后在该域上生成多项式,然后再模掉它的m次多项式的素理想,所得商环即为Fq
在此先谢过了!

问题的叙述有些概念不清.
要讨论极小多项式必需指明是哪个元素在哪个域上的极小多项式.
具体来说,若K是F的一个扩域,a是K中的元素并在F上为代数元,
则a所满足的,系数在F中的,首一不可约(在F[x]中)多项式(是唯一的)就是a在F上的极小多项式.
对于K中的不同元素,极小多项式的次数可能不同(即便有限域也一样).
因此不能简单讨论"这个域上的极小多项式的次数".
另外,Fq的构造也有点问题.
应该是任取Fp[x]中的m次不可约多项式f(x),生成F[x]中的素理想(f(x)),
则商环Fp[x]/(f(x))是一个q元有限域Fq.
也许你是想问Fq在Fp上的生成元的极小多项式的次数?这样的话就是m.
因为a在F上的极小多项式次数就是F[a]/F的扩张次数.

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