设常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 00:59:17

设常数a≥0，函数f（x）=x-ln²x+2alnx-1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

（Ⅰ）∵f（x）=x-（lnx）（lnx）+2alnx-1，x∈（0，+∞）
∴f′(x)＝1−[
1
x×lnx+(lnx)×
1
x]+
2a
x，=1−
2lnx
x+
2a
x，（2分）
∴g（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x∈（0，+∞）
∴g′(x)＝1−
2
x＝
x−2
x，令g'（x）=0，得x=2，（4分）
列表如下：

∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2-2ln2+2a，
即g（x）的最小值为g（2）=2-2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1-ln2）+2a，
∵ln2＜1，∴1-ln2＞0，又a≥0，
∴g（2）＞0
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，
∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0
从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0
故f（x）在（0，+∞）上是增函数
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1）
又f（1）=1-ln²1+2aln1-1=0
∴f（x）＞0，即x-1-ln²x+2alnx＞0
∴x＞ln²x-2alnx+1
故当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1

设常数a大于0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1,求证当x大于1时恒有x大于ln2x-2alnx+1 设a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x＞0）．已知函数fx=x^2-（a+2）x与g(x)=-alnx 设h(x)=f(x)-g(x),a是常数设常数a>=0,函数f(x)=x-lnx^2+2alnx-1（x属于0,正无穷）求证：当x>1时恒有x>lnx^2-2a 设常数a>=0,函数f(x)=x-lnx^2+2alnx-1(x属于（0,正无穷））,求证：当x>1时,恒有x>lnx^ 已知函数f(x)=x²-(a+2)x+alnx,其中常数a＞0,求函数单调区间已知函数f(x)=x+alnx,其中a为常数,且a小于等于-1 设a≥0,f(x)=x-1-(lnx)^2+2alnx(x>0) 求证:当x>1时,恒有x>(lnx)^2-2alnx+ 已知函数f(x)=alnx+x^2,a是常数己知函数f（x）2alnx-x（常数a>0）,（1）苦a=1时,求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程她,（2）讨论函数设函数f（x）=x-x^2+alnx,此曲线在p(1,0)处的切线斜率为2 求a的值已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),当a