来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/20 20:44:18
（2014•宁德模拟）已知函数f（x）=ax
2-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）-x
2+m（x-1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x
1＜x
2，求证：
| x
（Ⅰ）由f（x）=ax2-blnx，得：
f′(x)＝2ax−
b
x，(x＞0)，
∵函数f（x）=ax2-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，
∴
f(1)＝a＝1
f′(1)＝2a−b＝0，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2-2lnx，
∴g（x）=f（x）-x2+m（x-1）=m（x-1）-2lnx，x∈（0，1]，
∴g′(x)＝m−
2
x＝
mx−2
x，
①当m≤0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
②当0＜m≤2时，g′(x)＝
m(x−
2
m)
x≤0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
③当m＞2时，g′（x）＜0在(0，
2
m)上恒成立，g′（x）＞0在(
2
m，1]上恒成立，
∴g（x）在(0，
2
m)上单调递减，在(
2
m，1]上单调递增．
∴g(
2
m)＜g(1)＝0，
∴g（x）min≠0．
综上所述，存在m满足题意，其范围为（-∞，2]；
（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上单调递减，
∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，
即x-1＞2lnx．
∵0＜x1＜x2，
∴0＜
x1
x2＜1，
∴
x1
x2−1＞2ln
x1
x2，
∴
x1−x2
x2＞2(lnx1−lnx2)，
∵lnx2＞lnx1，
∴
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