作业帮如图三题,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 00:03:11
如图三题,
17、已知函数f(x)的定义域为R+,且满足条件f(x)=f(1/x)*lgx+1,求f(x)的表达式.
对于已知条件f(x)=f(1/x)*lgx+1 …………①
将x换成1/x得f(1/x)=f(x)*lg(1/x)+1 …………②
①②消掉f(1/x)得
f(x)=[f(x)*lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)= -f(x)*(lgx)²+lgx+1
[1+(lgx)²]*f(x)=lgx+1
f(x)=(1+lgx)/[1+(lgx)²]
18、已知f(x)=(bx+1)/(2x+a),a,b为常数,且ab≠2.
(1)若f(x)*f(1/x)=k,求常数k的值；
(2)若f[f(1)]=k/2,求a,b的值.
(1)由f(x)*f(1/x)=k,得
[(bx+1)/(2x+a)]*[(b/x+1)/(2/x+a)]=k
[bx²+(b²+1)x+b]/[2ax²+(a²+4)x+2a]=k
(b-2ak)x²+(b²+1-a²k-4k)x+(b-2ak)=0
依题意,上面的方程对任意x都成立,所以x的系数均为0,即
①b-2ak=0且②b²+1-a²k-4k=0
①②消掉k得
a²b+4b=2ab²+2a
a²b-2a=2ab²-4b
a(ab-2)=2b(ab-2)
因为ab≠2,所以上面的等式化简得a=2b,再代回②得k=1/4；
(2)看样子这一问要在前一问的基础上做,
f(1)=(b+1)/(a+2),所以
f[f(1)]=[b(b+1)/(a+2)+1]/[2(b+1)/(a+2)+a]=(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)
从而(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)=k/2
结合前一问得出的结果a=2b,k=1/4,解得
a= -2,b= -1或a= -7,b= -7/2.
其中前一组解与ab≠2矛盾,所以只有
a= -7,b= -7/2.
19、设函数f(x)=(ax+b)/(x-c) (x≠c)不恒为零,且对定义域内的任意x都有f(2+x)+f(2-x)=0,而f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x),求f(x).
f(x)=(ax+b)/(x-c)=a+[(ac+b)/(x-c)]
上面记号间的部分如果看不懂,那就用笨方法：
由f(2+x)+f(2-x)=0得
a+[(ac+b)/(2+x-c)]+a+[(ac+b)/(2-x-c)]=0,化简整理得
ax²+(2a+b)(c-2)=0
要使上式对定义域内的任意x都成立,只有x的系数为0,即a=0,进而(2a+b)(c-2)=0,即
b(c-2)=0
显然,若b=0,则f(x)=0,不符题意,所以只有c-2=0,c=2
从而f(x)=b/(x-2)
再由f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)得
f[f(x)]=2(x-2)/(4-x)
f[b/(x-2)]=2(x-2)/(4-x)
b/[b/(x-2)-2]=2(x-2)/(4-x)
(b-4)x=2b-8
要使上式对定义域内的任意x都成立,只有x的系数为0,即b-4=0,进而b=4
从而f(x)=4/(x-2).
对于已知条件f(x)=f(1/x)*lgx+1 …………①
将x换成1/x得f(1/x)=f(x)*lg(1/x)+1 …………②
①②消掉f(1/x)得
f(x)=[f(x)*lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)= -f(x)*(lgx)²+lgx+1
[1+(lgx)²]*f(x)=lgx+1
f(x)=(1+lgx)/[1+(lgx)²]
18、已知f(x)=(bx+1)/(2x+a),a,b为常数,且ab≠2.
(1)若f(x)*f(1/x)=k,求常数k的值；
(2)若f[f(1)]=k/2,求a,b的值.
(1)由f(x)*f(1/x)=k,得
[(bx+1)/(2x+a)]*[(b/x+1)/(2/x+a)]=k
[bx²+(b²+1)x+b]/[2ax²+(a²+4)x+2a]=k
(b-2ak)x²+(b²+1-a²k-4k)x+(b-2ak)=0
依题意,上面的方程对任意x都成立,所以x的系数均为0,即
①b-2ak=0且②b²+1-a²k-4k=0
①②消掉k得
a²b+4b=2ab²+2a
a²b-2a=2ab²-4b
a(ab-2)=2b(ab-2)
因为ab≠2,所以上面的等式化简得a=2b,再代回②得k=1/4；
(2)看样子这一问要在前一问的基础上做,
f(1)=(b+1)/(a+2),所以
f[f(1)]=[b(b+1)/(a+2)+1]/[2(b+1)/(a+2)+a]=(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)
从而(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)=k/2
结合前一问得出的结果a=2b,k=1/4,解得
a= -2,b= -1或a= -7,b= -7/2.
其中前一组解与ab≠2矛盾,所以只有
a= -7,b= -7/2.
19、设函数f(x)=(ax+b)/(x-c) (x≠c)不恒为零,且对定义域内的任意x都有f(2+x)+f(2-x)=0,而f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x),求f(x).
f(x)=(ax+b)/(x-c)=a+[(ac+b)/(x-c)]
上面记号间的部分如果看不懂,那就用笨方法：
由f(2+x)+f(2-x)=0得
a+[(ac+b)/(2+x-c)]+a+[(ac+b)/(2-x-c)]=0,化简整理得
ax²+(2a+b)(c-2)=0
要使上式对定义域内的任意x都成立,只有x的系数为0,即a=0,进而(2a+b)(c-2)=0,即
b(c-2)=0
显然,若b=0,则f(x)=0,不符题意,所以只有c-2=0,c=2
从而f(x)=b/(x-2)
再由f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)得
f[f(x)]=2(x-2)/(4-x)
f[b/(x-2)]=2(x-2)/(4-x)
b/[b/(x-2)-2]=2(x-2)/(4-x)
(b-4)x=2b-8
要使上式对定义域内的任意x都成立,只有x的系数为0,即b-4=0,进而b=4
从而f(x)=4/(x-2).