（2010•嘉定区一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/20 04:37:44

（2010•嘉定区一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；
（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称

轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．

（1）由旋转可知：点M的坐标为（-1，1），
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
∵二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1），
∴

1＝a−b+c
1＝a+b+c
0＝c.
∴

a＝1
b＝0
c＝0.
∴这个二次函数的解析式为y=x²．

（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，
得到新的二次函数的解析式为y=（x-2）²．
∴二次函数y=（x-2）²的图象与y轴的交点为C为（0，4），
由旋转可知：点N的坐标为（0，1），连接AN．
在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，
∴tan∠ACO＝
AN
CN＝
1
3．

（3）由（2）得：新的二次函数y=（x-2）²图象的对称轴为直线x=2．
根据题意：得点D的坐标为（2，0），
可设点E坐标为（2，x），∠BOC=∠BDE=90°．
如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：
①当点E在x轴的上方时，
如果
BD
DE＝
BO
OC，又BD=BO=1，容易知道△BCO与△BDE全等（舍去），
如果
BD
DE＝
OC
BO，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，
∴
1
x＝
4
1，
∴x＝
1
4．
所以点E的坐标为（2，
1
4）．
②当点E在x轴的下方时，
同理：可得到E的坐标为（2，-
1
4）．
所以：当△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时，
点E的坐标为（2，
1
4）或（2，-
1
4）．