多元积分柱面坐标问题如果区域是z=x^2+y^2 被z=1 与z=2 这两个平面所截,问用柱面坐标如何求解? 说下r 与

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 16:02:03

多元积分柱面坐标问题
如果区域是z=x^2+y^2 被z=1 与z=2 这两个平面所截,问用柱面坐标如何求解? 说下r 与z怎么定限?

截出来的图像是母线为曲线的类圆台,关于z轴对称,每个被垂直于z轴的平面所截的图形都是圆,故可用柱坐标求解,见下图：

首先说明下,这不是要用投影法,只是这样直观方便点.
明显有x=ρcosθ,y=ρsinθ,因为是积分整个圆,故θ取[0,π],ρ的有效长度是[0,r].一个个圆地往上积分,那么ρ的上限就不断变化,这是由于类圆台的母线是曲线z=r²=ρ²≥(x²+y²),母线上的点的投影对应为ρ的上限,即不同的z值,对应的ρ会有不同的上限,故ρ的上限是曲线函数√z而非常数,最后对z积分,明显z取[1,2].
于是

祝愉快
再问：可是有些题目，比如说z=x^2+y^2 与x^2+y^2+z^2=1 这样两个曲面围成的空间如果用柱面坐标来做的话 dp 的限就是 0~1（也就是交面在x0y上的投影的园的半径）这是为什么呢？？
再答：我明白你那个答案的思路了。它是先对z积分，再对极坐标平面积分。若先对极坐标平面积分，则要把D分成两块，先积下面的类圆锥，再积上面的球冠。先对z积分的话就不用分块了，
再问：

我感觉这是先二后一与先一后二的关系？？
再答：就是了，它是先对z积分。这时z的下限是曲线z=r²=ρ²=(x²+y²)，上限是z=√(2-x²-y²)，这样一根根竖直线地积下去，竖直线最多去到ρ=1处，那么就有ρ取[0，1]，θ取[0，2π]。其实ρ和θ也可以换顺序积分的，这样就无所谓一与二了，欢迎你参考我以前的回答，有一个就是解释极坐标积分交换顺序的。码字作图都辛苦，你别忘了采纳呀祝愉快
再问：可是如果我想对我一开始的问题，让他先对z积分可不可以呢？？你放心吧，我肯定采纳，而且会加分。。。
再答：先对z积分再对极坐标积分时需要分块：把投影中的小圆沿z轴向上平移，在Ω内划出一个圆柱，这部分积分很容易，有1≤z≤2，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π；对剩下部分积分时有(x²+y²)=ρ²≤z≤2，z的下限是曲线函数而非常数，上限就是平面z=2，这时剩下部分在极坐标中的投影是大圆与小圆间的环形，即平行于z轴的竖直线只能在环形范围内选取，有1≤ρ≤2，0≤θ≤2π。其实三重积分的第一节才是最重要的，那里直接说明了先对z积分和先对XOY平面积分的方法和区别，看懂那个后再看柱坐标和球坐标就容易了。祝愉快

用柱面坐标计算三重积分（Ω）∫∫∫xyzdy,其中Ω是柱面x^2+y^2=1与平面z=0与z=3所围成的面积三重积分求由柱面x=y^2,平面z=0及x+z=1所围成的立体计算曲面积分如图其中曲面是柱面x^2+y^2=1被平面z=0和z=3所截得的在x》=0的部分,取外侧求柱面z=x^2在平面区域D：0 高数题设曲面∑为柱面x^2+y^2=1介于平面z=-2与z=2之间的部分,则曲面积分∫∫(∑)(x^2+yz+y^2)d 设∑是柱面x^2+y^2=9及平面z=0,z=3所围成的区域的整个边界曲面,计算∫∫(x^2+y^2)dS 计算二重积分(y-z)x^2dzdx+(x+y)dxdy其中是柱面x^2+y^2=1及平面z=0 设柱面的淮线为：y=X^2+Z^2,y=2X,母线垂直于准线所在平面,求这柱面方程. ∫∫∫Ωxzdsdydz,其中Ω是由平面x=y,y=1,z=0及抛物柱面y=x^2所围成的闭区域求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影. 求柱面(x-1)^2+(y-1)^2=1被平面z=0及曲面z=x^2+y^2所截得曲面面积A 30分!求柱面(x-1)^2+(y-1)^2=1被平面z=0及曲面z=x^2+y^2所截得曲面面积A