（2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 02:49:13

（2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x²+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）．
（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

（1）当k=-2时，A（1，-2），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y=
m
x，
代入A（1，-2）得：-2=
m
1，
解得：m=-2，
∴反比例函数的解析式为：y=-
2
x；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函数y=k（x²+x-1）=k（x+
1
2）²-
5
4k，对称轴为：直线x=-
1
2，
要使二次函数y=k（x²+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜-
1
2时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜-
1
2；

（3）由（2）可得：Q（-
1
2，-
5
4k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点O平分AB，
∴OQ=OA=OB，

作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ=
CQ2+OC2=

1
4+
25
16k2，
∵OA=
AD2+OD2=
1+k