令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 20:04:28
令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验证G是一个群.
一个近世代数的题目,望高人能够帮小弟解答!不胜感激!
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首先我要说G不是一个群,G只是一个集合!
G配上了一个乘法运算后形成的这个代数系统才有可能是个群,
现在我们来证明:
首先是G的乘法运算的封闭性:
(a,b)∈G (c,d) ∈G,则a,b,c,d∈R a≠0,c≠0,所以(ac,ad+b) ac,ad+b∈R,且ac≠0;所以(ac,ad+b) ∈G
封闭
满足结合律:
任意(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) ∈G
[(x1,y1)(x2,y2)](x3,y3)=(x1x2,x1y2+y1)(x3,y3)=(x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
(x1,y1)[(x2,y2)(x3,y3)]=(x1,y1)(x2x3,x2y3+y2)= (x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
所以满足结合律是半群
2.有幺元e(1,0) ∈G
任意(a,b) ∈G
(a,b)(1,0)=(a,a*0+b)=(a,b)
所以有幺元.
是含幺半群
3.有逆元
对任意(a,b) 存在(1/a ,-b/a)∈G st.(a,b)(1/a,-b/a)=(1,0)=e.
且(1/a ,-b/a)唯一,
所以有逆元
是群
G配上了一个乘法运算后形成的这个代数系统才有可能是个群,
现在我们来证明:
首先是G的乘法运算的封闭性:
(a,b)∈G (c,d) ∈G,则a,b,c,d∈R a≠0,c≠0,所以(ac,ad+b) ac,ad+b∈R,且ac≠0;所以(ac,ad+b) ∈G
封闭
满足结合律:
任意(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) ∈G
[(x1,y1)(x2,y2)](x3,y3)=(x1x2,x1y2+y1)(x3,y3)=(x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
(x1,y1)[(x2,y2)(x3,y3)]=(x1,y1)(x2x3,x2y3+y2)= (x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
所以满足结合律是半群
2.有幺元e(1,0) ∈G
任意(a,b) ∈G
(a,b)(1,0)=(a,a*0+b)=(a,b)
所以有幺元.
是含幺半群
3.有逆元
对任意(a,b) 存在(1/a ,-b/a)∈G st.(a,b)(1/a,-b/a)=(1,0)=e.
且(1/a ,-b/a)唯一,
所以有逆元
是群
已知集合A=a,b,c,d,e B=m,n,f,g
已知a,b,c是实数,定义在【-1,1】上的函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b
1.已知A(g) +B(g)=C(g) △H1; D(g) + B(g) =E(g) △H2 .若1 mol A和D的混
设集合A={a,b,c,d,e},集合B={c,d,f,g},求A∩B,A∪B.
对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:(a,b)△(c,d)=(ac+bd
在棱长为一的正方体ABCD-A,B,C,D,中,E是BD的中点,G在棱CD上且CG=1/4DC,F为C,G的中点
如图,在数轴上八个点A,B,C,D,E,F,G,H表示的都是整数,若B对应的数为b,E对应的数为e,且e-2b=7,那么
定义R上的函数满足f(-x)=1/f(x)>0,又g(x)=f(x)+c(c为常数)在[a,b]上是单调增函数证明g(x
a b c d e f g
A B C D E F G ,
设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h:A×CB×D且∈A
a,b,c,d,e,f,g是自然数,a