奥赛组合几何题尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?

奥赛组合几何题



尤其是为什么“圆心不能选在某两点的连线上”?

这道题的题目和证明大致是成立的,但是有一些明显的逻辑缺陷,证明不很严谨.
我对这道题的一些评价：
（1）题目没写清楚.题目里应该严格注明：乌龟爬行的方向是两两“不同”的,否则命题不成立.比如拣4个乌龟,爬行方向完全相同,则他们相互之间静止,很容易做出一个乌龟含在另三个乌龟构成三角形内的情况,则永远不是凸多边形.只要有两个乌龟方向相同,我就可以构造出相对静止的情况,找到反例.
（2）证明里有明显的瑕疵.最为重大的逻辑缺陷是,T1T2T3角未必是OT2T1和OT2T3的和,也可能是差!写证明的人,仿佛已经假定了,这个O点会一直在凸多边形的内部!而这实际上不成立!考虑一个情况,4只乌龟,从原点开始,分别是1点钟方向,2点钟方向,3点钟方向,4点钟方向前进,则我可以断言,你在平面上找不到任何一个定点,使这个点在一定时间开始后,就一直在这个四边形的内部!所以说,找O点是可以的,但不能假定O就在内部,有时候角度OT2T1和OT2T3是要相减的!当然,角度即便相减,更不会超过180度,所以完全不影响结论.但是写证明的老师,明显没有考虑到这个情况.我觉得,这个证明显得不够严谨,按理说是要被扣分的（虽然扣的不多）.
（3）“圆心不能选在某两点的连线上”.我的意见是：没有什么太大必要.“圆心不能选在某两点的连线上”,唯一的作用,可能就是保证OT(i)T(j)不会一直共线而不组成三角形（比如两只乌龟,都从原点O出发,一只3点钟方向,另一只9点钟方向）,但其实这点对证明来说,根本不算关键.
最正确的做法是：根据v的方向矢量,把乌龟进行顺时针排序T1T2T3.TN,O点随便取,然后套用证明里的结论,时间足够长之后,OT(i)T(i+1)基本都是等腰三角形,然后T1T2T3是OT1T2和OT2T3角度的和或者差,无论哪种情况,都不超过180度,所以ok.O是否包在这个凸多边形内,取决于相邻两个方向矢量角度的差,尤其是差是否会超过180度,如果能超过180度,则O实际上在该凸多边形的外部.
这道题,有明显的高等数学背景（尤其是极限的概念）,如果你只有初等数学背景,也希望你能理解证明的想法.对于学过极限的人,理解这道题的证明,应该是很容易的.
再问： （1）我觉得还有一种情况：角T1T2T3+角OT2T1+角OT2T3=360° （2）角OT2T1→90°-1/2角T1OT2没错，可是角T1OT2是一个变量呀，并没能说明在某一时刻后角OT2T1都小于90°吧？ （3）“相邻两个方向矢量角度的差”是什么意思？真是麻烦您了！
再答： （1）按我说的证明做，不会出现（我指的是很长时间后就不会出现了）。（2）T1OT2会趋近于一个定值。因为OT1的方向，会无限趋近于乌龟T1的运动方向v1，而OT2的方向，也会无限趋近于乌龟T2的运动方向v2。因为v1和v2的都是给定的，所以很长时间后，T1OT2就无限趋近于一个定值。而且OT1~OT2，所以OT1T2和OT2T1都会趋近于一个定值，这个值和你O点位置的选择无关。（3）矢量角度，或者幅角，就是速度向量方向在二维坐标表示法里（cos(alpha)，sin(alpha)）里的那个alpha值。因为OT(i)的方向就会趋近于v(i)的方向，所以我才会让你根据方向v(i)来排序，这就是凸多边形顶点的顺序。原证明里，也没有具体说，怎么标记多边形的顶点顺序，显得并不严谨。说实话，原证明写得挺烂的。我搞过10年奥数，拿过全国高中数学联赛省市级一等奖，所以对我见解的专业性，你尽管放心。 楼上证明里，对于“所有点在半圆内”的这个看法，我也有自己的看法。O点的选择其实根本不是关键点。像我说的，4只乌龟，从原点O出发，1点钟方向，2点钟方向，3点钟方向，4点钟方向分别匀速爬行。其实他们就一直在一个半平面内爬行（平面x>0的部分），这又怎么了，其实照样可以证明这个命题的。