若F()的导函数在x.处极限存在,则f'(x)在x.连续,如何证明,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 03:29:50

若F()的导函数在x.处极限存在,则f'(x)在x.连续,如何证明,
老师给的证明:f'(x.)=lim(x→x.)(f(x)–f(x.))/(x–x.)=lim(x→x.)f'(x),我没看明白

根据中值定理, 存在 x1 界于 x0, x之间使得
(f(x)–f(x.))/(x–x.)= f'(x1), 于是
lim(x→x.)(f(x)–f(x.))/(x–x.)
=lim(x→x.)f'(x1)
= f‘（x0) 因为 x1 界于 x0, x之间使得 , 当 x-->x0时, x1--> x0
再问：题也没说f'(x。)存在啊，题里只说f(x)导数在x。极限存在
再答：设F()的导函数在x。处极限为a, 则 lim(x→x。)f'(x1)=a, 根据导数定义，有 f'(x0)=a.
再问：反例:(x^3)sin(1/x)在0点导数不存在，但是导函数的极限存在
再答：此函数在0处的导数存在 =0. 我还刚做了一个 x^2sin(1/x) 在0处导数的题。 http://zhidao.baidu.com/question/493970021.html?oldq=1
再问：为什么导数存在，
再答：按定义 lim|(f(x)-f(x0)/(x-x0) -a|=lim|f'(x1)-a|=0, 所以导数存在。这里 x1 是解答中描述的x1。
再问：对函数(x^3)sin(1/x)，按某点导数定义,在0处的导数应该为lim(△x→0)f
再答： lim(x-->0)|(f(x)-f(0))/x - 0| =lim(x-->0)|x^3sin(1/x)|/|x| =lim(x-->0) |x^2sin(1/x)| 因为 |sin(1/x)|0) |x^2sin(1/x)| =0 即(x^3)sin(1/x)在0点导数=0
再问：对函数(x^3)sin(1/x),按某点导函数定义在0点导数为lim△x→0f△x–f0/△x,而f0是不存在的
再答：对那个函数假设了 f(0)=0. 否则函数不连续。也不可能有 F()的导函数在x。处极限存在
再问：就算不假设f0=0，单独看那个导函数，导函数在0处的极限也为0啊，
再答：所有这些讨论中，都假设了 f(x) 连续。否则，只需考虑当x不=0时，f(x)=0； f(0)=1. 结论就不成立了。
再问：也就是这个结论还应该有个条件，f'(x。)必须存在是吗
再答： f(x) 在x0 处连续即可。如果f'(x。)存在，自然没问题。

设函数f(x) 在x=0处连续,在x->0时,若极限f(x)/x存在,证明f'(0)=0. 证明:若F(X)在R上连续,且F(X)极限存在,则F(X)必在R上有界若函数f(x)在点x0处极限存在,则f(x)在点x0处连续 f(x)在R上是连续的函数,已知f(x)的极限存在,x趋于无穷,证明f(x)在R上有界设函数f(x)在x=1连续,且f(x)/(x-1)的极限存在,求证f(x)在x=1可导. 设函数f(x)在（01]上连续,且极限lim->0+f(x)存在,证明函数f(x)在（0,1]上有界若函数f(x)在x.处极限存在,则f(x)在x=x.处极限limx→x0f(x)存在是函数f（x）在点x=x0处连续的（　　）若函数f（x）在负无穷到正无穷上连续,当x趋向负无穷时和x趋向正无穷时f（x）的极限都存在,则函数f（x）一致连续. 若函数f(x)在x=x0 处极限存在,则f(x)在x=x0处（?）A可能没有定义 B连续 C可导 D不连续高数.若函数f(x)在点X=0处连续,且其极限f(x)/x存在,试问函数f(x)在点X=0处是否可导设f(x)在x=0处连续,且x趋近于0时f(x)/x极限存在,证明f(x)在x=0处连续可导