作业帮若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 03:30:08
若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数
证明：若非负整数a,b使(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是完全平方数
证明：若非负整数a,b使(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是完全平方数
若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知,x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果xb^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾.证毕.
我尝试了几组
b=0,(a^2+b^2)/(1+ab)=a^2,对任意a命题成立.
b=1,(a^2+1)/(1+a)=1+a-2a/(1+a),如果该式为整数,则1+a必整除2,a=1,此时该式等于1,故命题也成立.
如果b>2,取a=b^3,则(b^8+b^2)/(1+b^4)=b^2
(8^2+2^2)/(1+16)=68/17=4
(27^2+3^2)/(1+81)=738/82=9
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知,x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果xb^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾.证毕.
我尝试了几组
b=0,(a^2+b^2)/(1+ab)=a^2,对任意a命题成立.
b=1,(a^2+1)/(1+a)=1+a-2a/(1+a),如果该式为整数,则1+a必整除2,a=1,此时该式等于1,故命题也成立.
如果b>2,取a=b^3,则(b^8+b^2)/(1+b^4)=b^2
(8^2+2^2)/(1+16)=68/17=4
(27^2+3^2)/(1+81)=738/82=9
若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数
已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
a,b是整数,若对所有正整数n,(2^n)a+b为完全平方数,证明:a=0
若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.
若根号7+2的整数部分为a,小数部分为b,求(a+b)的平方
若实数a、b满足：a/b+b/a=2 则 a平方+ab+b平方/a平方+4ab+b平方 的值为
若A为根号3的整数部分,B为根号2的小数部分,则（A+B)平方的算数平方根是多少,要过程
为什么【根号5的整数部分为a,平方根等于它本身的数是b,则a+b=2】
数轴上A,B,C,D四点对应的都是整数,若点A对应的数为a,点B对应的数为b,b-2a=7,数轴上的原点是A,B,C,D
若a,b满足a的平方+b的平方-a-b+1/2=0,则分式ab/a+b的值为
设根号5-1分之根号5+1的整数部分为a,小数部分为b,求a平方+1/2ab+b平方的值
数轴 b-2a数轴上A,B,C,D四点对应的都是整数,若点A对应的数为a,点B对应的数为b,b-2