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求心形线r=a(1+cosθ)的全长,其中a>0是常数.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/25 07:28:04
求心形线r=a(1+cosθ)的全长,其中a>0是常数.
∵r=a(1+cosθ)
∴r′(θ)=-asinθ
∴ds=
r2(θ)+r′2(θ)dθ=
2a2(1+cosθ)dθ=2a

1+cosθ
2dθ=2a|cos
θ
2|dθ
∴心形线的全长为:
s=2a
∫2π0|cos
θ
2|dθ=2a
∫π0cos
θ
2dθ+2a
∫2ππ(−cos
θ
2)dθ=4asin
θ
2
|π0−4asin
θ
2
|2ππ=8a