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如图已知点P在圆柱OO1的底面圆周上,AB为圆O的直径,

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2020/08/15 12:51:14
如图已知点P在圆柱OO1的底面圆周上,AB为圆O的直径,

(1)求证:BP⊥A1P;
(2)若圆柱的体积为12π,OA=2,∠AOP=120°,求异面直线A1B与AP所成角大小.
(1)证明:易知AP⊥BP,又由AA1⊥平面PAB,得AA1⊥BP,(2分)
从而BP⊥平面PAA1,故BP⊥A1P;(5分)
(2)延长PO交圆O于点Q,连接BQ,A1Q,则BQ∥AP,得∠A1BQ或它的补角为异面直线A1B与AP所成的角.(7分)
由题意V=π•OA2•AA1=4π•AA1=12π,解得AA1=3.(8分)
又BQ=2
3,AQ=2,得A1Q=
13,A1B=5,(11分)
由余弦定理得cos∠A1BQ=
A1B2+BQ2−A1Q2
2A1B•BQ=
2
3
5>0,(13分)
得异面直线A1B与AP所成的角为arc cos
2
3
5.(14分)