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高中数列难题,最好是综合的.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2020/12/05 16:19:37
高中数列难题,最好是综合的.
〔例2〕已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式:f(n)>〔logm(m-1)〕2- 〔log(m-1)m〕2恒成立.
命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.
错解分析:本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.
技巧与方法:解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为:函数f(n)的最小值大于〔logm(m-1)〕2- 〔log(m-1)m〕2.
∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)
∴f(n+1)>f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n,不等式
f(n)>〔logm(m-1)〕2- 〔log(m-1)m〕2恒成立
只要 >〔logm(m-1)〕2- 〔log(m-1)m〕2成立即可
由 得m>1且m≠2
此时设〔logm(m-1)〕2=t 则t>0
于是 解得0<t<1
由此得0<〔logm(m-1)〕2<1
解得m> 且m≠2.