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已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是边AB上一动点,PE⊥CD,垂足为点E,PM⊥AB,交边C

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 16:53:48
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是边AB上一动点,PE⊥CD,垂足为点E,PM⊥AB,交边CD于点M,AD=1,AB=5,CD=4.

(1)求证:∠PME=∠B;
(2)设A、P两点的距离为x,EM=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)连接PD,当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时,求AP的长.
(1)证明:证法一:在四边形BCMP中,
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°,∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°. 
而∠PME+∠CMP=180°,
∴∠PME=∠B. 
证法二:∵DC⊥BC,PM⊥AB,且∠PME与∠B都为锐角,
∴∠PME=∠B.
(2)作AH⊥BC于H,交PE于点F.
∵PE⊥CD,BC⊥CD,
∴PE∥BC.
∴AF⊥PE.
∵AH=CD=4,AB=5,
∴BH=3.
∵AD=1,
∴EF=1.
∵PF∥BH,

PF
AP=
BH
AB,
∴PF=
3
5x,
∴PE=
3
5x+1.
又∵∠PME=∠B,∠PEM=∠AHB=90°,
∴△PEM∽△AHB. 

EM
PE=
BH
AH,即
y

3
5x+1=
3
4.  
∴y=
9
20x+
3
4.
∵PE=
3
5x+1≤BC=4,
∴x≤
13
5,
定义域为0≤x≤
13
5.  
(3)(ⅰ)当PM=PD时,DE=EM.

4
5x=
9
20x+
3
4.
解得x=
15
7,即AP=
15
7.  
(ⅱ)当PM=DM时,
5
4(
3
5x+1)=
4
5x+
9
20x+
3
4. 
解得x=1,即AP=1. 
综上所述,当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时,AP=
15
7或AP=1.