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已知,半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过OP中点B做垂线交圆O于点C,射线PC交圆O与点D,连接OD 1.若

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 05:52:17
已知,半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过OP中点B做垂线交圆O于点C,射线PC交圆O与点D,连接OD 1.若弧AC=
已知,半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过OP中点B做垂线交圆O于点C,射线PC交圆O与点D,连接OD
1.若弧AC=弧CD,求弦CD的长
2.若C在弧AD上,设PA=x CD=y,求y与x的函数解析式x的取值范围
3.设CD中点为E,射线BE和射线OD交于点F,当DF=1时,求tan角P的值
1.2题已解,求第三题过程
[[[1]]]
先画一个比较标准的图.
连接OC和OE.
[[[[[[2]]]]
显然可以得到两个结论:
[[[其一]]]
,Rt⊿CBP≌Rt⊿CBO.
∴∠CPB=∠COB=x(不妨设其大小为x)
∴∠DCO=2x.(三角形外角的性质定理)
同时,PC=OC=R=4
[[[[其二]]]
∵CE=DE(已知)
∴由垂径定理可知
OE⊥CD
∴Rt⊿OEC≌Rt⊿OED (S,S,S)
∴∠ODC=∠OCD=2x.
同时,由锐角三角函数定义,
在Rt⊿OPE中.
tan∠P=OE/PE
[[[[[其三]]]]
∵∠CBO=∠CEO=90º
∴四点B,C,E,O共圆
(其实,这一点比较好理解,取OC的中点M为圆心,则
MB=(1/2)OC
ME=(1/2)OC.(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)
∴MB=MC=ME=MO,即四点共圆.
∴由同圆中,同弧上的圆周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x
∴∠DEF=∠BEC(对顶角相等)=∠BOC=x.
在⊿DEF中,由三角形外角性质定理
∠ODC=∠F+∠DEF
∴2x=∠F+x
∴∠F=x.
∴⊿DEF为等腰三角形
CE=DE=DF=1.
∴PE=PC+CE=4+1=5
在Rt⊿ODE中,DE=1,OD=R=4
∴由勾股定理可得OE=√15
∴tan∠P=OE/PE=(√15)/5
以上情况是点D在弧AC外面时的结果.
[[[[2]]]]]]]
当点D在弧AC上时
同理可知 CE=DE=DF=1,PC=OC=R=4
PE=3.OE=√15
tan∠P=OE/PE=(√15)/3