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一个圆锥内有一个半径为一的内切球,求所有这样的圆锥的体积的最小值.急用.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 02:54:33
一个圆锥内有一个半径为一的内切球,求所有这样的圆锥的体积的最小值.急用.
设:底圆半径为r,高为h,则圆椎体积V=Pi/3*h*r^2.由内切圆这个条件可得关系式:(h-1)/(h^2+r^2)^0.5=1/r.化简:h=2r^2/(r^2-1),代入:V=2Pi/3*r^4/(r^2-1),求导:V'=2Pi/3*[4r^3(r^2-1)-r^4*2r]/(r^2-1)^2=4Pi/3*r^3*(r^2-2)/(r^2-1)^2,令V'=0得:r=2^0.5.所以:Vmin=8Pi/3.