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∑为上半球面z=√(1-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫y^3dxdy=?求详细过程

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:10:39
∑为上半球面z=√(1-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫y^3dxdy=?求详细过程
把上半球面z=√(1-x^2-y^2)投影到xoy平面上,得圆x^2+y^2=1,利用极坐标,原积分=∫(sinθ)^3dθ∫r^4dr (r积分限0到1,θ积分限0到2π),∫r^4dr =1/5,∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=∫[(cosθ)^2-1]dcosθ=(cosθ)^3/3-cosθ=0,所以积分=0
其实本题可利用对称性,由于积分曲面关于x轴对称,而被积函数是关于y奇函数,所以积分=0