作业帮一道简单的三角形求函数表达式问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/23 23:26:45
一道简单的三角形求函数表达式问题
已知点P、Q分别是边长为2的正三角形ABC的边AB和AC上的点,三角形APQ的面积占三角形ABC的面积的1/4.
（1）试选择适当的变量x,建立PQ长y关于x的函数解析式,并求出其定义域.
（2）求PQ长的最值.
已知点P、Q分别是边长为2的正三角形ABC的边AB和AC上的点,三角形APQ的面积占三角形ABC的面积的1/4.
（1）试选择适当的变量x,建立PQ长y关于x的函数解析式,并求出其定义域.
（2）求PQ长的最值.
（1）正三角形的面积为根号3,则三角形APQ的面积S=1/2AP*AQ*sinA=（根号3）/4,而A为60度,可以求出AP*AQ=1.
设AP=x,则AQ=1/x
再用余弦定理
y^2=x^2+(1/x)^2-2*cos60=x^2+(1/x)^2-1
y=根号下（x^2+1/x^2-1）,x的定义为（0.5,2]
（2）令P=x^2+1/x^2-2+1=(x-1/x)^2+1,由平方的性质当x=1时,（x-1/x）=0,此时取得最小值的PQ=根号1=1
同理,用观察法容易发现x-1/x是一个单调增的函数,取端点0.5和2,求得它的端点值为-3/2和3/2,故P的最大值为9/4+1=13/4,所以y此时的值为根号下13/4,即（根号13）/2.
综上所述,x=1时,取得最小值 y=1 ； x=正负3/2时取得最大值
y=（根号13）/2
设AP=x,则AQ=1/x
再用余弦定理
y^2=x^2+(1/x)^2-2*cos60=x^2+(1/x)^2-1
y=根号下（x^2+1/x^2-1）,x的定义为（0.5,2]
（2）令P=x^2+1/x^2-2+1=(x-1/x)^2+1,由平方的性质当x=1时,（x-1/x）=0,此时取得最小值的PQ=根号1=1
同理,用观察法容易发现x-1/x是一个单调增的函数,取端点0.5和2,求得它的端点值为-3/2和3/2,故P的最大值为9/4+1=13/4,所以y此时的值为根号下13/4,即（根号13）/2.
综上所述,x=1时,取得最小值 y=1 ； x=正负3/2时取得最大值
y=（根号13）/2