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如图,边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 22:36:24
如图,边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4.

(1)求证:不论点E,F的位置如何变化,△BEF是正三角形;
(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S与x的函数关系式.
(1)证明:
连接BD,
∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∠ADC=120°,
∴△ABD是正三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°,AB=BD,
又因AE+CF=4,DF+CF=4,
∴AE=DF,
而∠FDB=∠ADC-∠ADB=60°=∠DAB,
∴△AEB≌△DBF,
∴BE=BF,∠ABE=∠DBF,
∵∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°
∴△BEF是正三角形.
(2)过E作EG⊥AB于点G,
∵AE=x,∠DAB=60°,
∴EG=

3
2x,AG=
1
2x,
∴BG=4-
1
2x,
∴BE2=EG2+BG2=(

3
2x)2+(4− 
1
2x)2=x2-4x+16
作FH⊥EB垂足为点H,
S△BEF=
1
2BE•FH=
1
2BE•

3
2BE=

3
4BE2=

3
4(x2-4x+16).
(1)连接BD,四边形ABCD是菱形得△ABD是正三角形(∠ABD=60°),再证出△ABE≌△DBF,得BE=BF,∠ABE=∠DBF,由此得出∠EBF=60°,问题得证;
(2)作EG⊥AB,利用勾股定理得出BE的长,再求正三角形△BEF的面积.