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已知a为实数,f(x)=(x-4)^2(x-a),(1)求导数

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 06:00:02
已知a为实数,f(x)=(x-4)^2(x-a),(1)求导数
已知a为实数,f(x)=(x-4)^2(x-a),
(1)求导数
(2)若f'(-1)=0求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值
(3)若f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围
(1) f(x)=(x-4)^2(x-a)=(x^3-(8+a)x^2+(16+8a)x-16a
  f '(x)=2(x-4)(x-a)+(x-4)^2
(2) 若f '(-1)=0 则在x=-1时,有驻点 f(-1)=-25(1+a),
  由f '(-1)=0,即2(-1-4)(-1-a)+(-1-4)^2=10(1+a)+25=0
  解得:a=-7/2
  于是f(-1)=125/2
  函数f(x)在两端点上的值分别为,f(-2)=(-6)^2(-2+7/2)=54
f(2)=(-2)^2(2+7/2)=22
  故函数f(x)在[-2,2]上的最大值是:f(-1)=125/2;最小值是:f(2)=22
(3) 若f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上都是递增的,则在(-∞,-2)和(2,+∞)上有f '(x)>0
  于是必有f '(x)=3(x^2-4) (该二次式满足x在(-∞,-2)和(2,+∞)上时,大于0,且首项系数和
  (1)中求出的f '(x)首项系数相同.)
  同时,由(1)求得的导数,得到f '(x)=2(x-4)(x-a)+(x-4)^2=3x^2-(16+2a)x+8a+16
  (该式标明,无论a取值如何,都保证不了x取值为(-∞,-2)和(2,+∞)上时,大于0)