A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 14:18:57
A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
设n阶对称阵A=(a[i][j]),其中a[i][j]=a[j][i],且a[i][i]均为偶数,n为奇数
因为A的行列式为所有乘积±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的和,其中
i[1],i[2],...,i[n]是1,2,...,n的一个排列,±号取决于排列的奇偶性
当存在ik=k时,a[k][ik]为偶数,∴此时±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]为偶数
当不存在ik=k时,考虑a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的对称项
a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n],由于n为奇数,所有这两项是不同项
这是因为若二者相同,∵ik≠k,∴a[ik][k]∈{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}\{a[k][ik]}
这样{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}中的数刚好可以两两配对,即n为偶数,矛盾
又由于A对称,∴a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n]=a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]
∴考虑它们的代数和±a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n] + (±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in])
若±号相同,显然结果为偶数,若±号相异,则结果为0,也为偶数
∴通过这样的配对之后,可知A的行列式可以分成这样若干个偶数之和
即A的行列式一定也是偶数
因为A的行列式为所有乘积±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的和,其中
i[1],i[2],...,i[n]是1,2,...,n的一个排列,±号取决于排列的奇偶性
当存在ik=k时,a[k][ik]为偶数,∴此时±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]为偶数
当不存在ik=k时,考虑a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的对称项
a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n],由于n为奇数,所有这两项是不同项
这是因为若二者相同,∵ik≠k,∴a[ik][k]∈{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}\{a[k][ik]}
这样{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}中的数刚好可以两两配对,即n为偶数,矛盾
又由于A对称,∴a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n]=a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]
∴考虑它们的代数和±a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n] + (±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in])
若±号相同,显然结果为偶数,若±号相异,则结果为0,也为偶数
∴通过这样的配对之后,可知A的行列式可以分成这样若干个偶数之和
即A的行列式一定也是偶数
A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
假定n阶实对称矩阵A是严格对角占优的 且所有对角元素大于零 试证A一定是对称正定矩阵
下面说法没有错误的是().A.五的倍数都是合数.B.偶数都是合数,奇数都是质数.C.自然数中不是奇数就是偶数
结果是奇数的算式是( ) A.偶数×奇数 B.奇数+奇数 C.偶数×偶数 D.奇数-偶数
a和b分别表示一个长方形的长和宽(a、b都是整数),则这个长方形的周长是奇数,还是偶数?为什么?
“所有能被三整除的整数都是奇数”的否定形式是什么?答案上说“存在.不是奇数”那写“是偶数”行
下面三句话中,()句是错误的. A.6、8、18、81都是2的倍数 B.两个奇数的和一定是偶数
设a,b都是整数,证明:若ab是整数,则a和b都是奇数
判断题:所有的质数中,只有2是偶数,其它都是奇数.( )
“如果A包含于B,那么A∪B=B ”的否命题是? “所有能被2整除的整数都是偶数”的否命题是?
设AB 都是整数,证明:若AB是奇数,则A和B都是奇数.
两个奇数的和( )A. 一定是奇数B. 一定是偶数C. 可能是奇数也可能是偶数D. 一定是质数