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证明n趋向无穷,极限存在,X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0),x1会不会小于根号a

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 20:20:32
证明n趋向无穷,极限存在,X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0),x1会不会小于根号a
证明:∵X1>0,Xn+1=(1/2)(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)
==>Xn>0(n=1,2...,) (应用数学归纳法证明)
==>Xn+1=(1/2)(Xn+a/Xn)≥(1/2)(2√(Xn*(a/Xn)))=√a (应用m+n≥2√m*√n (m>0,n>0))
∴数列{Xn}存在下限.(1)
∵Xn+1-Xn=(1/2)(Xn+a/Xn)-Xn=(1/2)(a/Xn-Xn)
=(1/2)[(a-Xn^2)/Xn]=(1/2)[(√a+Xn)(√a-Xn)/Xn]≥0 (n=1,2,...)
即Xn+1≥Xn
∴数列{Xn}单调递减.(2)
故综合(1)和(2),可知数列{Xn}极限存在,证毕.
不能确定X1是否小于√a.
说明:此题可以具体求出数列{Xn}的极限.
设数列{Xn}的极限为X
∵Xn+1=(1/2)(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)
==>X=(1/2)(X+a/X) (对等式两端取极限)
==>X=√a
∴数列{Xn}的极限为√a.