设n阶矩阵A.B满足A B=AB

设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab不等于0,证明AB=BA.证：以下记单位矩阵(幺阵)为E.由已知得(A-bE)(B-aE)=abE0两边求行列式,均不为零,故det(A-bE)0,故A-

证:因为正交矩阵的行列式是正负1再由|AB|

A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B)==>AB+BA=0==>0=A^2B+ABA=AB+ABA,0=ABA+BA^2=ABA+BA===>ABA=-AB=-BA==>AB=BA

这不是原题吧由AB-A-B=0得(A-E)B=A[注意左右的差别]则B=(A-E)^-1A但从你题目中推不出A-E可逆若要继续讨论,请给原题再问：已知设n阶方阵A,B满足AB=A+B证明A-E可逆这就

AB是对称矩阵(AB)'=ABB'A'=AB你的前提条件不足,A,B应该是对称矩阵,这样就有BA=AB

证明:因为A,B正定,所以A^T=A,B^T=B(必要性)因为AB正定,所以(AB)^T=AB所以BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.(充分性)因为AB=BA所以(AB)^T=B^TA^T=BA=

证明:由A+2B=AB得(A-2E)(B-E)=2E所以B-E可逆,且(B-E)^-1=(1/2)(A-2E).所以(B-E)(A-2E)=2E整理有BA=A+2B再由已知得AB=BA.

易知：A是m*n矩阵,且列向量组线性无关,所以r(A)=n,所以r(AB)=r(A)=n,因为n=r(AB)≤r(B)（或r(A)）≤n（B是n阶矩阵）所以n≤r(B)≤n=>r(B)=n（2）此外,

R(A)+R(B)再问：能具体解释一下吗再答：可用基础解系证明。设R(A)=r,R(B)=s由AB=O知道，B的列向量都是AX=O的解向量，但B的列向量组只是AX=O的所有解向量的一个部分组，所以B的

都小于n有个结论:设A,B均为n阶非零矩阵,且AB=0,则R(A),R(B)满足R(A)+R(B)=1,r(B)>=0所以R(A),R(B都小于n

AB-B=A,(A-E)B-E=A-E,(A-E)(B-E)=E,所以A-E可逆逆矩阵为B-E由1知（A-E)和B-E互逆所以（B-E)(A-E)=E与(A-E)(B-E)=E,展开比较就可以得到AB

AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA

设A的R(A)=r,则Ax=0的解空间的维数为n-r,再设B=[b1,b2,..,bn],其中b1,b2,..,bn是矩阵B的列,由AB=O,得Ab1=O,Ab2=0,...,Abn=0,故b1,b2

如果A可逆的话是n*n的

充分性：因为AB=BA,所以（AB）'=B'A'=BA=AB,从而AB是对称矩阵必要性：因为AB为对称矩阵,所以AB=（AB）'=B'A'=BA再问：在必要性中，(AB)'怎么=(BA)'的再答：AB

若常数l=0则AB=A,即B=E；若常数l非零,E=(E-lA^{-1}B)B,所以B可逆且E=B(E-lA^{-1}B),相减得lA^{-1}B^2=lBA^{-1}B,左乘l^{-1}A右乘B^{

A+B-AB=0A+B-AB-E=-E(A-E)(-B+E)=-E(A-E)(B-E)=E所以A-E可逆,（A-E)-1=B-E

证∵(A-E)(B-E)=E又：det(A-E)*det(B-E)=detE=1∴det(A-E)≠0∴A-E是可逆阵

证明:因为A,B可逆,故A^-1,B^-1存在,AB可逆,且有A*=|A|A^-1,B*=|B|B^-1.故(AB)*=|AB|(AB)^-1=|A||B|B^-1A^-1=(|B|B^-1)(|A|

证明:必要性由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵).若AB正定,则AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)'=B'A'=B