设f(x)在(0 2)上连续 在(0 2)内可导 且f(1)=-3 f(2)=3

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2两式相减,移项,取绝对值得|f'(x)|=|f(1)

（1）用反证法不妨设存在一点p,使f(p)>0,那么连续函数由保号性,存在p一个领域(p-c,p+c),当x∈(p-c,p+c)时,f(x)>0∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+∫f(x

f(0)f(1)

设F(x)=f(x)-x,则其在[0,1]上连续,F(0)>0,F(1)

F'(x)=【f(x)(x－a)－∫(a,x)f(t)dt】/(x－a)^2＝【f(x)(x－a)－f(t0)(x－a)】/(x－a)^2＝【f(x)－f(t0)】/(x－a)

令g(x)=x^2在[a,b]上连续,在(a,b)内可导则柯西中值定理：(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)所以2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ

根据柯西中值定理(f(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f'(e)/g'(e)其中e∈[b,a]本题,可把上方的g(x)看成x^2有：(f(a)-f(b))/(a^2-b^2)=f'(e)/2

设g(x)=lnx,因g(x)为初等函数,所以当0

d【∫f(x)dx】=f(X),考的是定义.比如：f(x)=x∫f（x）dx=x^2/2+C,d【∫f（x）dx】=x=f(x)这是在考定义.再问：Ϊɶ���ǵ���f��x��dx?再答：�����

因为x^2是偶函数,而f(x)-f(-x)是奇函数,所以x^2[f(x)-f(-x)]是奇函数由偶倍奇零,得原式=0

令F(x)=(积分(从0到x)f(t)dt)^2-积分(从0到x)f(t)^2dt,00,g(x)严格递增.故g(x)>g(0)=0,于是F'(x)=f(x)*g(x)>0.故F(x)递增,故F(1)

题目要证明什么?再问：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0

/>构造辅助函数：F（x）=xf（x），则：F（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，从而F（x）满足拉格朗日中值定理，则：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得：F(b)-F(a)b-a=F′(ξ)，

证：记g(x)=lnx,显然g(x),f(x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件则存在一点ξ∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)即[f(b)-f(a)

设|f(c)|＝max|f(x)|.首先有|f(x)^n|0,当x满足|x－c|=[积分(从c－d到c+d)|f(x)^n|dx]^(1/n)>=[积分(从c－d到c+d)(M－e)^ndx]^(1/

求出F’（x）,只要F’（x）>0,则得到F（x）在（a,b】上是单调增加的求得F’（x）=[f’（x）*（x-a）-f（x）+f（a）]/（x-a）^2,则F’（x）的符号由分子决定令分子是G（x）

证：因为lim(x→0)f(x)/x=0对上式用洛必达法则有lim(x→0)f`(x)/(x)`=0f`(0)=0又f`(1)=lim(△x→0)[f(1+△x)-f(1)]/△x=lim(△x→0)

只需证明：f(x)递增有上界：事实上,1）f(x)递增有导数大于0得到；2）f(x)有上界：利用f(x)=f'(s)从1积分到x,再加上f(1).因为f'(x)

证明：令k=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)无妨设f(c)≤f(d),由于q是正数,所以qf(c)≤qf(d)pf(c)+qf(c)≤pf(c)+qf(d)(p+q)f(c)≤pf(c)+qf(

解题思路：对f（x）积分是x=a，x=b和f（x）围成的面积（或相反数）在除以b-a就是平均的高了也就是平均值解题过程：连续的图，就是一直相连，中间没有任何断开的点。最终答案：略