设A 是三阶实矩阵满足AA T-搜答案-拍题作业网

由|3I＋A|＝0得|A－(-3)I|＝0,所以,A有一个特征值－3由A×AT＝2I,两边取行列式得：|A|×|A|＝2^4＝16,又|A|＜0,所以,|A|＝－4因为A×A*＝|A|I,设A对应于特

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

你那t是转置吧,这里我们换个符号,用a'表示a的转置.(E-aa')=(E'-(aa')')=E-(a')'a'=E-aa'所以E-aa'是对称的而(E-aa')²=E²-2Eaa

求矩阵的特征值是令行列式|A-λE|=0得到了现在|A+E|=0就相当于λ=-1了

证明:|A+E|=|A+AA^T|=|A(E+A^T)|=|A||(E+A)^T|=|A||A+E|所以|A+E|(1-|A|)=0因为|A|

det(i+A)=det(AAt+A)=det[A(At+i)]=detAdet(At+i)=detAdet(A+i)=-det(i+A)所以,det(i+A)=0

因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A|再问：直接把A提出来，|AB|=|A||B|

|I+A|=|(I+A)^T|=|I+A^T||A||I+A|=|A||I+A^T|=|A(I+A^T)|=|A+I|因为|A|=-1所以-|I+A|=|A+I|那么|I+A|=0

A^2=求和符号（下面i=0,上面i=n）（akiail）AAT=求和符号（下面i=0,上面i=n)（akiali）ATA=求和符号（下面i=0,上面i=n）（aikail）再问：亲有过程么？答案我知

|A+E|=|A+AA'|=|A||E+A'|=|A||(E+A)'|=|A||E+A|,而|A|=-1,所以推出|A+E|=0

AATa＝Aλa这不对再问：AAa=Aλa=λAa跟这个不一样么再答：A^T≠A再问：但是AT的特征值也是λ呀？？再答：A与A^T的特征值尽管一样但它们的特征向量并不相同!

由A是4阶方阵,且AAT=2E,得|A|^2=|AAT|=|2E|=2^4=16.又由|A|

AB(AB)'=ABB'A'=AIA‘=I,(AB)'AB=B'A'AB=B'IB=I,因此原题得证

只要证明|A+E|的行列式为0就可以了.|A+E|=|A+AA^T|=|A(E+A^T)|=|A||E+A^T|=-|(A+E)^T|=-|A+E|移一下项就得到2|A+E|=0,从而|A+E|=0,

因为A满足：A2=2A因此A的三个特征值为λ1=λ2=0，λ3=2由于三根之和等于A的对角线上的三个因素之和，从而aE-An的三个特征值为：a-λn，即a，a，a-2n，故有.aE-An.=a•a•(

因为A,B为正交矩阵所以A^TA=AA^T=E,B^TB=BB^T=E.且|A|^2=|B|^2=1再由|A|+|B|=0得|A|^2+|B|^2+2|A||B|=0所以|A||B|=-1.所以-|A

很简单,我们先来研究（实际上我们也只需要研究b就可以了）设b=a*a',设特征向量和特征值,分别为xi,ri得到b*xi=ri*xi根据矩阵的性质：sum(ri)=a*a'=2;(i=1,n)rank

这里,先给说一个结论,很好证的就是如果x是阵C的特征值,那么E+C的特征值为1+xa≠0,可以知道aa'（a‘表示转置）也不会为0,而r(aa')

(1)r(A)

设A 是三阶实矩阵 满足AA T