A是一个实矩阵,证明:秩(AA)

实际上A'Ax=0和Ax=0的解是相同的.首先对任何满足Ax=0的x,必有A'Ax=0.其次对任何满足A'Ax=0的x,必有x'A'Ax=(Ax)'(Ax)=0,于是Ax=0.（这里用到了一个性质：如

想复杂了,用秩很简单的AA^T是m阶方阵而r(AA^T)

引用:"左乘A-1得A'=A-1A'A∴A'为对称矩阵"这不对,一.A不一定可逆二.即使A可逆也推不出A'对称我对这题有兴趣,感觉题目给的条件不足,题目来源是哪里?考研题我都有,这题是哪年的?数几?

证明:因为(AA^T)^T=AA^T所以AA^T是对称矩阵.对任一m维非零向量X,X^T(AA^T)X=(A^TX)^T(A^TX)>=0(内积的非负性)所以二次型X^T(AA^T)X是半正定的所以A

这个吗,有点难,等我宿舍的研究出来了再告诉你啊~

|A|E是矩阵的数乘一般情况:A=(aij),则kA=(kaij).即矩阵A中每个元素都乘k所以|A|E=|A|0...00|A|...0....00...|A|

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

...不知道还需要解答不?记B=A',就是要证明rank(B'B)=rankB.利用(1)维数定理m=rankB+dimKer(B)(2)Bx=0当且仅当B'Bx=0,所以Ker(B)=Ker(B'B

A'是A的转置吧根据矩阵乘法定义,AA'的第i行第j列元素等于A的第i行和A'的第j列（也就是A的第j行的转置）的积.所以AA'第i个对角线上的元素是A的第i个行向量和自己转置后点乘的结果,也就是自己

因为AA'=0,所以任意m维列向量x,有x'AA'x=0,即(A’x)'A'x=0即||A‘x||=0即A’x=0由x的任意性A'=0,所以A=0再问：(A’x)'A'x=0和AA'=0有什么区别？再

根据转置矩阵的性质(AB)'=B'A'以及(A')'=A有(A'A)'=A'(A')'=A'A,所以A'A是对称矩阵.同理(AA')'=(A')'A'=AA'所以AA'也是对称矩阵.

这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法显然,AX=0的解都是A'AX=0的解.反之,若X1是A'AX=0的解则A'AX1=0所以X1'A'AX1=0故(AX1)'(AX1)=0所以有AX1=0即A'

|A(A^T-E^T)|=|A||A^T-E^T|=|A||(A-E)^T|=|A||A-E|注:知识点|A^T|=|A|.

一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T+9(a^Ta)(aa

令B=A',则B'B=0所以对任意n维列向量x都有x'B'Bx=0即有(Bx)'Bx=0.所以Bx=0取ei=(0,...,0,1,0,...,0)',第i个分量等于其余为0的n维向量.i=1,2,.

A是正交矩阵AA^T=EA^-1=A^TA的列向量组两两正交且长度都是1A的行向量组两两正交且长度都是1再问：五个是等价的么？任意一个成立都可以推出其他4个成立？再答：是的

如果λ是A的特征值,x是其特征向量,即Ax=λx左乘x^H（x的共轭转置）得到λ=(x^HAx)/(x^Hx),分子和分母都是实数

A^2=E即A^2-E=0,所以(A+E)(A-E)=0,那么行列式|A+E|或|A-E|=0现在知道A的特征值均大于0,故-1不是A的特征值,即|A+E|不等于0,由秩的不等式可以知道,r(A)+r

AA'=AA,取两边转置有A'A=A'A',即A(A'-A)=0,-A'(A'-A)=0.两式相加有-(A'-A)^2=0,则A=A'

(1)因为A是m×n矩阵,所以A^H是n×m矩阵,A^HA是n×n矩阵,而且(A^HA)^H=A^H(A^H)^H=A^HA.又因为对于任意的n维非零列向量a,有a^H(A^HA)a=(Aa)^H(A