AB是n阶方阵,若AB=O,那么R(A) R(B)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 04:17:25
证明错误举个反例就行A=[2,0;0,1]B=[0,0;1,0]即满足“n阶非零方阵B,使得AB=BA=B”,但是A≠E
n阶矩阵乘积的秩有不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nAB=0,即有r(AB)=0,代入即得.还有一种想法,B的列向量都是线性方程组AX=0的解.于是AX=0解空间的维数n-r(A)应该≥B的列秩
B的每个列向量都是齐次方程AX=0的解.当B为零矩阵时,AX=0只有零解,所以r(A)=n,B为零矩阵所以r(B)=0此时r(A)+r(B)=n当B为非零矩阵时,AX=0有非零解,所以r(A)
存在元素为整数的n阶方阵B,使得AB=E,即方阵A存在逆矩阵.一个方阵,存在逆矩阵的充分必要条件是行列式不为0
用反证法.若R(A)=N,则A可逆.A^(-1)[AB]=A^(-1)*0=0,又A^(-1)[AB]=B,因此,B=0.与B不等于0矛盾.故,R(A)
AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA
设矩阵B与AB=0右端的零矩阵的列分块分别为B=(β1β2…βn),0=(00…0),由分块矩阵乘法,A(β1β2…βn)=(00…0),(Aβ1Aβ2…Aβn)=(00…0)即β1β2…βn(Ⅰ)是
因为B≠O(矩阵),所以存在B的一列b≠0(列向量)因为AB=0,所以Ab=0即齐次线性方程组AX=0存在非零解,所以R(A)
A+B+AB=0(I+A)(I+B)=-I即I+A可逆,逆矩阵为-(I+B).因此(I+B)(I+A)=-I即A+B+BA=0所以AB=BA
因为矩阵B不一定可逆,如果B可逆,则由AB=B两边左乘B^(-1)就得到A=E,但是现在不知道B是否可逆,只能得到AB-B=O,即(A-E)B=O,而我们知道如果AB=O,不一定有A=O或B=O成立,
假设R(A)=N那么A为满秩矩阵,那么A可逆,A*A的逆矩阵*B=0,所以B=0,与条件矛盾.所以R(A)〈N
AB=0,则B的列向量都是AX=0的解,而r(B)=n,所以线性方程组AX=0至少有n个线性无关的解;设这个解集为S,则r(S)=n-r(A)>=n,即r(A)=0,所以r(A)=0,即A=0.如果您
因为AB=0,所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解.而根据线性方程组理论,AX=0的基础解系中线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)≤n-r(A).而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量
因为AB=0所以B的列向量都是AX=0的解又因为B≠0,所以AX=0有非零解.所以r(A)
我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.(1)n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.(2)证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.(3)证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们
对,因为AB方等于E,则AB等于E,又由方阵得出两个矩阵的秩均为n
===》如果|A|=0,则0为其特征根,于是存在列向量x1,使得Ax1=0设列向量x2=...=xn=0,设B=(x1,x2,...,xn),则B≠0,且AB=A(x1,x2,...,xn)=(Ax1
不一定成立举反例就行了
A,B可逆,所以A逆,B逆存在,故B逆A逆是一个n阶方阵.直接验证:(B逆A逆)*AB=B逆*(A逆*A)*B=B逆*B=I(单位阵).类似的,AB*(B逆A逆)=I.由逆矩阵的定义,B逆A逆正是AB