如图,cd,cf分别是△abc的内角平分线和外角平分线,cd交ab于d

证明：取BF中点M，连接AM．在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，∠EAB＝∠DCA＝60°AB＝CAAE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠1=∠6，BE=AD，∠

过B作AD的垂线,垂足为K∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠ACB=60°AB=AC=BC在△ABE和△ACD中AB=AC,∠BAE=∠ACD,AE=CD,∴△ABE全等于△ACD（SAS）∴AC=

∵AB=CD（AD是△ABC的平分线）∴BD=DC∠B=∠C∵DE、DF分别垂直于AB、AC∴∠BED=∠CFD∴△BED≌△CFD∴BE=CFOK?!

证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．

角acd等于角abc（因为acd和abc都是直角三角形,角a是共角）；ce是中点线,所以ce等于be,角ecb等于角ebc；所以角acd等于角bce；cf是角平分线,所以角dcf等于角ecf.所以结论

BE+CF>EF证明：延长FD到点G,使DG=DF,连接BG∵BD=CD,FD=DG,∠BDG=∠CDF∴△BDG≌△CDF∴BG=CF∵ED⊥FG∴EF=EG在△ABG中,BE+BG>EG∵BG=C

证明：∵等边△ABC∴AB＝BC＝AC,∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60∵AD＝BE＝CF∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）∴∠BAE＝∠CBF＝∠ACD∴∠MPN＝∠ACD+∠CAE＝∠BA

∵CD为角ACB的内角平分线,所以∴∠BCD=∠ACD且∠ACD=∠ECD∴∠BCD=∠ECD∵DF‖BC∴∠EDC=∠DCB∴∠EDC=∠ECD∴ED=EC∵CF三角形ABC的外角平分线∴∠ECF=

设BD=3x,CD=2x,则AE=AB-BE=4-3x,AF=AC-CF=3-2x,由AE=AF解得x=1BC=5直角三角形面积为6

证明：（1）∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，∴∠DCE=12∠ACB，∠ECF=12∠ACG，∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∴△DCF为直角三角形；（2）

作辅助线DE、DF.AB=AC,则角B=角C,又因为EB=DC,BD=CF,则△EBD全等于△DCF,故DE=DF,△EDF为等腰三角形,因为G为底边EF的中点,所以DG⊥EF.

解题思路：利用等腰三角形的判定求解。解题过程：解：点E是线段DF的中点。理由如下：∵CD、CF分别是△ABC的内角和外角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4∵D

证明：∵等边△ABC∴AB＝BC＝AC,∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60∵AD＝BE＝CF∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）∴∠BAE＝∠CBF＝∠ACD∴∠MGN＝∠ACD+∠CAE＝∠BA

因为△BED中,BE=BD所以,∠BED=∠BDE设∠BED=∠BDE=x同理,设∠CDF=∠CFD=y那么,根据三角形内角和为180°,可以得到：2x+∠B=180°、2y+∠C=180°所以,x=

∵∠A＝80∴∠B+∠C＝180-∠A＝100∵BD＝BE∴∠BDE＝（180-∠B）/2＝90-∠B/2∵CD＝CF∴∠CDF＝（180-∠C）/2＝90-∠C/2∴∠EDF＝180-（∠BDE+∠

∠DEB＝∠EDB∠DFC＝∠FDC∠B＋∠DEB＝∠EDC＝∠FDE＋∠FDC∠C＋∠DFC＝∠FDB＝∠FDE＋∠EDB∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＝∠FDE＋∠FDC＋∠FDE＋∠EDB∠A＋

用全称,如:∠ABC∠1=∠2因为CF为角平分线,所以∠ACF=∠FCB因为RT△底边上的中线等于斜边一半.所以CE=AE=BE∠CAB=∠ACE,应为∠CDB=∠ACB=90°,∠B=∠B所以△AC

证明：连结DEDFAB=AC,所以∠B=∠C因为BD=CFBE=CD所以△BED≌△CDF所以DE=DF因为G是EF的中点,DE=DF,所以DG⊥EF

DG垂直EF连接ED,FD因为AB=AC所以∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相同）在△EDB和△FDC中BD=CF∠ABC=∠ACBBE=CD所以△EBD≌△FDC（SAS）所以ED=FD因为G是E

∵AF是角平分线,FG⊥AB,FC⊥AC∴FC=FG∵CD⊥AB∴∠AED+∠EAD=90°∵∠AFC+∠CAF=90°,∠CAF=∠EAD∴∠AED=∠CEF=∠CFE∴CE=CF∴CE=FG